Diremos que as matrizes A e B comutam se A B=B A. Encontre todas as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right) que comutem com B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as matrizes \r
\r A = \begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix}\r\r
que comutam com \r
\r B = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\r,\r
isto é, satisfazem \r
\,AB = BA. \r
O conteúdo que vamos usar é multiplicação de matrizes e comparação de entradas correspondentes.

Passo 2

Calculemos
\,AB:
AB = \begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cdot1 + y\cdot0 & x\cdot1 + y\cdot1\\[6pt] z\cdot1 + w\cdot0 & z\cdot1 + w\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & x + y\\\ z & z + w \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculemos
\,BA:
BA = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 1\cdot z & 1\cdot y + 1\cdot w\\[6pt] 0\cdot x + 1\cdot z & 0\cdot y + 1\cdot w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + z & y + w\\\ z & w \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para que AB=BA, igualamos as entradas de mesma posição:\r
( 1,1): x = x + z \Rightarrow z = 0. \r
( 1,2): x + y = y + w \Rightarrow x = w. \r
( 2,1): z = z (sempre verdade). \r
( 2,2): z + w = w \Rightarrow z = 0 (já obtido). \r
Logo as únicas condições são\r z = 0
e\r
\r w = x\r.

Passo 5

Substituindo essas restrições em A, obtemos a família de todas as matrizes que comutam com B:\r
\r A = \begin{pmatrix}x & y\\\ 0 & x\end{pmatrix}\r,\r
com x,y\in\mathbb{R} (ou outro corpo considerado).

Resposta

Todas as matrizes que comutam com B são\r
A = \begin{pmatrix} x & y\\\\ 0 & x \end{pmatrix}, \quad x,y\in\mathbb{R}.

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