Coloque F (falso) ou V (verdadeiro), Justificando.
(a) ( ) Se A B=0 então A=0 ou B=0.
(b) (\quad) Se A B=B A^{2} então A B^{2}=B^{2} A^{4}.
(c) ( ) Se A tem uma linha nula então C A tem uma linha nula para qualquer matriz C onde o produto esteja definido.

Passo 1

O enunciado pede pra classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. O conteúdo é álgebra de matrizes:
  • Na parte (a) verificamos se existe zero-divisor em matrizes;
  • Em (b) exploramos associatividade e substituições em produtos matriciais;
  • Em (c) usamos a definição de linha nula e a fórmula de produto de matrizes.

Passo 2

(a) A afirmação “Se AB=0 então A=0 ou B=0” é falsa, pois existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero. Exemplo concreto em \mathbb{R}^{2\times 2}:
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot0 + 0\cdot1 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix},
mas nem A nem B são a matriz nula.]

Passo 3

(b) Partindo de
AB = BA^2,
usando associatividade e substituições sucessivas, temos:
AB^2 = (AB)B = (BA^2)B = B\,(A^2B) = B\,(A\,(AB)) = B\,(A\,(BA^2)) = B\,((AB)A^2) = B\,((BA^2)A^2) = B\,(B\,A^4) = (BB)\,A^4 = B^2A^4.
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) A afirmação “Se A tem uma linha nula então CA tem uma linha nula para qualquer C” é falsa. Por exemplo, em \mathbb{R}^{2\times 2} considere
A = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix}.
A primeira linha de A é nula, mas
CA = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot0 + 1\cdot1 & 0\\[3pt]1\cdot0 + 1\cdot1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix},
que não possui nenhuma linha totalmente nula.]

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F

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