Sendo A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 3 & -1 & 4\end{array}\right). Determine A A^{t} e A^{t} A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3}
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 4\end{pmatrix}
e pede para calcular AA^t e A^tA. O conteúdo envolve multiplicação de matrizes e uso da transposta, aplicando o produto linha–coluna.]

Passo 2

Escrevemos primeiro a transposta de A. Como A é 2\times3, sua transposta A^t é 3\times2:
A^t = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
Para multiplicar duas matrizes, usamos o produto escalar entre linhas da primeira e colunas da segunda.]

Passo 3

Cálculo de AA^t. Aqui multiplicamos uma 2\times3 por uma 3\times2, obtendo uma 2\times2. O elemento (i,j) de AA^t é o produto escalar da linha i de A com a linha j de A.
\begin{aligned} (AA^t)_{11} &= 1\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot0 = 5,\\\ (AA^t)_{12} &= 1\cdot3 + 2\cdot(-1) + 0\cdot4 = 1,\\\ (AA^t)_{21} &= 3\cdot1 + (-1)\cdot2 + 4\cdot0 = 1,\\\ (AA^t)_{22} &= 3\cdot3 + (-1)\cdot(-1) + 4\cdot4 = 26. \end{aligned}
Logo,
AA^t = \begin{pmatrix}5 & 1 \\[4pt] 1 & 26\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de A^tA. Agora multiplicamos uma 3\times2 por uma 2\times3, obtendo uma 3\times3. O elemento (i,j) de A^tA vale
(A^tA)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{k,i}\,A_{k,j}.
Calculando as entradas principais e usando simetria:
\begin{aligned} (A^tA)_{11} &= 1^2 + 3^2 = 10, & (A^tA)_{12} &= 1\cdot2 + 3\cdot(-1) = -1, & (A^tA)_{13} &= 1\cdot0 + 3\cdot4 = 12,\\\ (A^tA)_{22} &= 2^2 + (-1)^2 = 5, & (A^tA)_{23} &= 2\cdot0 + (-1)\cdot4 = -4, & (A^tA)_{33} &= 0^2 + 4^2 = 16. \end{aligned}
Os elementos fora da diagonal obedecem (A^tA)_{ji}=(A^tA)_{ij}. Assim,
A^tA = \begin{pmatrix} 10 & -1 & 12 \\[4pt] -1 & 5 & -4 \\[4pt] 12 & -4 & 16 \end{pmatrix}.]

Resposta

AA^t = \begin{pmatrix}5 & 1 \\[4pt] 1 & 26\end{pmatrix}, \quad A^tA = \begin{pmatrix} 10 & -1 & 12 \\[4pt] -1 & 5 & -4 \\[4pt] 12 & -4 & 16 \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados