O diretor de uma empresa está pensando em mudar sua maneira de estabelecer preços para seu produto. Para tal, ele contratou uma consultoria econômica para estimar equações de demanda de seu produto. As equações de demanda para o grupo A, Qda, e para o grupo \mathrm{B}, \mathrm{Qdb}, são dadas pelas seguintes equações:
\begin{aligned} Q d \mathrm{a} & =500-1,5 P \\\ Q b \mathrm{~b} & =200-4 P \end{aligned}
Com base nessas equações de demanda, pede-se:
a) Calcule a elasticidade-preço da demanda (Epd) de cada grupo, considerando que o preço atual do produto é \mathrm{R} \ 40$. Qual grupo é mais sensível às variações no preço do produto?
b) Se você fosse o diretor da empresa e tivesse o objetivo de maximizar sua receita, deveria alterar os preços cobrados pelo produto para os grupos? Se a resposta for positiva, para qual grupo você poderia aumentar o preço e para qual grupo você poderia reduzir o preço? Explique.
c) Qual é o preço que maximiza a receita nas vendas para os grupos A e B ?

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de demanda dos dois grupos em função do preço P:
Q_{\mathrm{A}} = 500 - 1,5\,P,
Q_{\mathrm{B}} = 200 - 4\,P.
Queremos (a) calcular a elasticidade-preço da demanda em P=40, (b) decidir se devemos ajustar preços para maximizar receita com base nessas elasticidades e (c) achar o preço que maximiza a receita de cada grupo. Vamos usar a definição
E_{pd} = \frac{dQ}{dP}\,\frac{P}{Q}
e a relação entre elasticidade e receita: se \lvert E_{pd}\rvert<1 a demanda é inelástica (subir preço aumenta receita) e se \lvert E_{pd}\rvert>1 é elástica (baixar preço aumenta receita).

Passo 2

Calcular E_{pd} do grupo A em P=40.
  1. Derivada: \frac{dQ_{\mathrm{A}}}{dP} = -1,5.
  2. Quantidade em P=40:
Q_{\mathrm{A}}(40) = 500 - 1,5\cdot 40 = 500 - 60 = 440.
  1. Elasticidade:
E_{pd}^{\mathrm{A}} = (-1,5)\,\frac{40}{440} = -\frac{60}{440} = -\frac{3}{22}\approx -0,136.

Passo 3

Calcular E_{pd} do grupo B em P=40 e comparar:
  1. Derivada: \frac{dQ_{\mathrm{B}}}{dP} = -4.
  2. Quantidade em P=40:
Q_{\mathrm{B}}(40) = 200 - 4\cdot 40 = 200 - 160 = 40.
  1. Elasticidade:
E_{pd}^{\mathrm{B}} = (-4)\,\frac{40}{40} = -4.
Como \lvert -4\rvert = 4 é muito maior que \lvert -0,136\rvert, o grupo B é bem mais sensível (mais elástico) às variações de preço.

Passo 4

Decisão de aumentar ou reduzir preços para maximizar receita:
  • Para o grupo A temos \lvert E_{pd}^{\mathrm{A}}\rvert<1 (demanda inelástica), logo subir o preço aumenta a receita.
  • Para o grupo B temos \lvert E_{pd}^{\mathrm{B}}\rvert>1 (demanda elástica), logo reduzir o preço aumenta a receita.

Passo 5

Preço que maximiza a receita de cada grupo:
A receita é R(P)=P\cdot Q(P). Basta resolver dR/dP=0.
– Grupo A:
R_{\mathrm{A}}(P)=P\,(500-1,5P) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR_{\mathrm{A}}}{dP}=500 - 3P = 0 \;\Rightarrow\;P_{\mathrm{A}}^* = \frac{500}{3}\approx 166{,}67.
– Grupo B:
R_{\mathrm{B}}(P)=P\,(200-4P) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR_{\mathrm{B}}}{dP}=200 - 8P = 0 \;\Rightarrow\;P_{\mathrm{B}}^* = 25.

Resposta

a) E_{pd}^{\mathrm{A}}\approx -0,136, E_{pd}^{\mathrm{B}}=-4. O grupo B é mais sensível ao preço.
b) Como \lvert E_{pd}^{\mathrm{A}}\rvert<1, aumente o preço para o grupo A; como \lvert E_{pd}^{\mathrm{B}}\rvert>1, reduza o preço para o grupo B.
c) P_{\mathrm{A}}^* = 500/3\approx 166{,}67, \,P_{\mathrm{B}}^* = 25.

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