Um consumidor recebe um ticket semanal de \mathrm{R} \ 200 para consumir combustíveis. No posto em que costuma frequentar, o preço atual do etanol (Px1) é R\íçé 2,20/l e o preço da gasolina (Px2) é R$ 4/l. Os parâmetros de preferência desse consumidor com relação ao consumo de combustíveis são baseados nas características de rendimento de seu automóvel, que faz 10km com 1 l de gasolina e 7 km com 1 l de etanol. Com base nessas informações, pede-se:
a) Construa graficamente a linha do orçamento e o espaço orçamentário do consumidor.
b) Encontre o ponto de escolha ótima do consumidor (cesta ótima de consumo).
c) Suponha que houve um aumento de 40 \% no etanol e os outros parâmetros de escolha do consumidor (renda, preço da gasolina e preferências) não foram alterados. Construa a nova linha do orçamento. Houve mudança na escolha ótima?

Passo 1

O consumidor dispõe de uma “renda‐ticket” fixa de \mathrm{R}\$200 por semana para comprar dois “bens”: litros de etanol c_1 e litros de gasolina c_2. Os preços são \,p_1=2{,}20/litro e p_2=4/litro. Como o carro faz 7 km por litro de etanol e 10 km por litro de gasolina, modelamos as preferências por uma utilidade de “quilômetros totais”
U(c_1,c_2)=7\,c_1+10\,c_2,
que são substitutos perfeitos. O objetivo é maximizar U sujeito ao orçamento.

Passo 2

A restrição orçamentária em litros é
2{,}20\,c_1 \;+\;4\,c_2 \;=\;200.
Os interceptos são:
c_1=\frac{200}{2{,}20}\approx90{,}91,\qquad c_2=\frac{200}{4}=50.
Graficamente, a linha orçamentária é a reta que une (c_1,c_2)=(90{,}91,0) a (0,50), e o espaço orçamentário é a região abaixo dela.

Passo 3

Para escolher a cesta ótima, comparamos a taxa marginal de substituição por custo, isto é, \tfrac{\mathrm{MU}_i}{p_i}:
\frac{\mathrm{MU}_1}{p_1}=\frac{7}{2{,}20}\approx3{,}18,\qquad \frac{\mathrm{MU}_2}{p_2}=\frac{10}{4}=2{,}50.
Como \tfrac{\mathrm{MU}_1}{p_1}>\tfrac{\mathrm{MU}_2}{p_2}, o etanol rende mais km por real gasto, e o consumidor aloca todo o orçamento nele.

Passo 4

Daí a cesta ótima é
c_1^*=\frac{200}{2{,}20}\approx90{,}91,\qquad c_2^*=0.

Passo 5

Com um aumento de 40\% no preço do etanol, o novo preço é
p_1'=2{,}20\times1{,}40=3{,}08\\ \text{R\$}/\text{l}.
A nova reta orçamentária fica
3{,}08\,c_1+4\,c_2=200,
com interceptos
c_1=\frac{200}{3{,}08}\approx64{,}94,\qquad c_2=50.

Passo 6

Agora
\frac{\mathrm{MU}_1}{p_1'}=\frac{7}{3{,}08}\approx2{,}27 \quad\text{e}\quad \frac{\mathrm{MU}_2}{p_2}=\;2{,}50.
Como \tfrac{\mathrm{MU}_2}{p_2}>\tfrac{\mathrm{MU}_1}{p_1'}, passa a valer mais a gasolina, e o consumidor gastará tudo nela.

Resposta

a) Linha orçamentária inicial:
2{,}20\,c_1+4\,c_2=200,
com interceptos (90{,}91,0) e (0,50); espaço orçamentário é a região abaixo.
b) Cesta ótima inicial:
(c_1,c_2)=(90{,}91,\,0).
c) Nova linha orçamentária:
3{,}08\,c_1+4\,c_2=200,
com interceptos (64{,}94,0) e (0,50). A escolha ótima muda para
(c_1,c_2)=(0,\,50).
Sim, houve mudança na cesta ótima.

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