Seja A a mesma matriz do Exercício 5.
(a) Encontre a inversa A^-1 via o método da adjunta A^-1=1det A adj(A). (Lembre que a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores).
(b) Calcule det(A) e det(A^-1) e verifique que det(A) cdot det(A^-1)=1.
7. (a) Dê um exemplo de duas matrizes quadradas 3 times 3, A e B tal que det(A+B) seja diferente de det(A)+det(B).
(b) O seguinte fato foi provado em aula: det(A cdot B)=det(A) cdot det(B). Para iniciantes no assunto determinantes, escolha alguns exemplos de matrizes 3 times 3, A e B, e verifique que a igualdade anterior é satisfeita em todos os casos.

Passo 1

O enunciado pede a inversa de e os determinantes de e , mas não foi fornecida a matriz (ela era do Exercício 5). Sem conhecer não há como calcular , nem .

Passo 2

Exercício 7(a): precisamos dar um exemplo de matrizes 3times3, A e B, tais que
det(A+B)neq det(A)+det(B)
Escolhemos
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , B = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos
det(A)=1cdot1cdot0=0, det(B)=0cdot0cdot1=0,
enquanto
A+B= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 Longrightarrow det(A+B)=1
Logo
det(A+B)=1neq 0+0=det(A)+det(B)

Passo 4

Exercício 7(b): verificar a propriedade
det(A B)=det(A),det(B)
em alguns exemplos.

Passo 5

Exemplo 1 (matrizes diagonais não singulares):
A=1&0&00&2&00&0&3, B=4&0&00&5&00&0&6
Temos
det(A)=1cdot2cdot3=6, det(B)=4cdot5cdot6=120,
AB=4&0&00&10&00&0&18 Longrightarrow det(AB)=4cdot10cdot18=720,
e
det(A),det(B)=6times120=720,
logo det(AB)=det(A)det(B).
Exemplo 2 (incluindo caso singular):
A=1&2&34&5&67&8&9, B=I3
Aqui det(A)=0 (linhas dependentes) e det(B)=1. Como AB=A,
det(AB)=det(A)=0, det(A),det(B)=0times1=0,
portanto também det(AB)=det(A)det(B).

Resposta

Impossível resolver (a) e (b) da primeira parte porque a matriz não foi fornecida.
7.(a) Por exemplo
pois , e , logo .
7.(b) Em dois exemplos:
  • Exemplo 1: , , , , .
  • Exemplo 2: (singular), . Então , , , .

Exercícios relacionados