Dirigindo à noite numa estrada retilínea você observa uma luz que se aproxima. Em determinado momento você percebe que são duas luzes, provavelmente os faróis de um carro. Explique a situação descrita e calcule a distância desse carro até você. Dados que podem ser úteis: diâmetro da pupila 6 mm ; distância entre os faróis de um carro
; comprimento de onda próximo do máximo de sensibilidade 500 nm .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: explicar qualitativamente por que, inicialmente, a luz parece uma única fonte e depois se distinguem dois faróis; e calcular a distância do carro até você usando os dados fornecidos.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
- diâmetro da pupila:
; - distância entre os faróis do carro:
; - comprimento de onda próximo do máximo de sensibilidade:
.
Objetivo numérico: encontrar a distância
entre você e o carro.
Passo 2
Entendendo qualitativamente a situação (explicação didática e sem pular etapas).
Quando olhamos para duas fontes luminosas muito próximas no ângulo, o olho pode não conseguir distingui-las e as vemos como uma só. Duas causas principais para isso:
- Limitação do próprio sistema óptico do olho: a pupila é uma abertura finita e produz difração. Mesmo uma imagem pontual forma no fundo do olho um padrão com uma “mancha” de difração (o disco de Airy). Se duas fontes têm suas manchas de difração muito sobrepostas, serão vistas como uma só.
- Limitação fisiológica: os fotorreceptores na retina (cones) têm espaçamento finito e isso também limita a mínima separação angular que conseguimos resolver.
Neste exercício vamos usar a limitação fundamental de difração da pupila (modelo de abertura circular) para estimar a separação angular mínima que permite distinguir dois pontos. Esse modelo dá uma estimativa física do porquê, ao certo momento, as duas luzes deixam de ser percebidas como uma só.
Passo 3
Fórmula de resolução por difração para uma abertura circular (critério de Rayleigh) — explicação do que é cada termo.
O critério de Rayleigh para uma abertura circular diz que a menor separação angular
(em radianos) que permite distinguir duas fontes é aproximadamente
onde:
-
é o comprimento de onda da luz (m); -
é o diâmetro da abertura (aqui, a pupila) (m); - o fator
vem da posição do primeiro mínimo do padrão de difração (disco de Airy) produzido por uma abertura circular.
Explicando em palavras: a abertura finita espalha a luz numa mancha; duas fontes são “resolvidas” quando o máximo da mancha de uma coincide aproximadamente com o primeiro mínimo da outra — daí o fator
.
Passo 4
Converter unidades e calcular
passo a passo.
Converter os dados para o SI:
Aplicando a fórmula:
Calculemos o fator numérico:
Portanto
(Interpretação: duas fontes precisam abrir um ângulo em torno de
rad para poderem ser resolvidas pelo critério de difração da pupila.)
Passo 5
Relação geométrica entre separação angular e distância do carro.
Se os faróis estão separados por
e distantes
do observador, para pequenos ângulos vale a aproximação angular
Para o limiar de resolução usamos
e isolamos
:
Aqui assumimos que
é muito maior que
(o que é razoável) e portanto a aproximação pequena-ângulo é válida.
Passo 6
Calcular numericamen te a distância
.
Usando
(dado) e
(do Passo 4),
Fazendo a divisão:
Convertendo para quilômetros:
Passo 7
Comentário final, limitações e interpretação prática (didática e encorajadora).
O resultado indica que, se o olho fosse puramente limitado pela difração da pupila, dois faróis separados por
só seriam resolvíveis quando o carro estivesse a cerca de
(ou seja, ~13,8 km). Isso parece muito longe — na prática, outros fatores tornam a resolução pior (ou seja, distinguimos os faróis apenas muito mais perto):
- a retina e o espaçamento dos cones limitam a acuidade visual (tipicamente a acuidade normal é cerca de 1 minuto de arco
, maior que o limite de difração calculado aqui); - condições atmosféricas (neblina, turbulência) e a extensão real dos faróis (não são pontos) alargam as imagens;
- movimento, luz ambiente e sensibilidade do olho também interferem.
Portanto o cálculo que fiz é uma estimativa física fundamentada (limite de difração), que dá uma ordem de grandeza e explica por que inicialmente a luz parece única (ângulo menor que
); na prática a separação angular mínima percebida pelo observador geralmente é maior, então dois faróis ficam distinguíveis a distâncias bem menores que ~13 km.