05 Em um calorímetro ideal, misturam-se 200 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} com 100 g de água a uma temperatura T. Determine a temperatura T, para que no equilíbrio térmico coexistam massas iguais de gelo e de água;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo em detalhes, com os números exatamente como vieram):
  • Massa de gelo inicial: m_{\text{gelo,i}} = 200\,\mathrm{g}.
  • Temperatura do gelo inicial: T_{\text{gelo,i}} = 0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de água inicial: m_{\text{água,i}} = 100\,\mathrm{g}á.
  • Temperatura da água inicial: T (valor a determinar).
  • Condição no equilíbrio térmico: coexistem massas iguais de gelo e de água.
O que o problema pede:
  • Determinar a temperatura inicial T da água tal que, no equilíbrio, haja massas iguais de gelo e de água.
Informações que vamos precisar (valores físicos usuais, já que o enunciado não dá constantes):
  • Calor específico da água: c = 4,18\,\mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L = 334\,\mathrm{J/g}.

Passo 2

Entendimento físico do problema (ideia geral e por que o problema é bem determinado):
  • Se no equilíbrio coexistem gelo e água, a temperatura de equilíbrio deve ser 0^\circ\mathrm{C}. Isso porque, para gelo sólido e água líquida coexisterem, a temperatura do sistema tem de ser a temperatura de fusão do gelo, que é 0^\circ\mathrm{C} à pressão ambiente.
  • Logo, toda a dinâmica térmica ocorre até que a água quente (inicial) se resfrie até 0^\circ\mathrm{C} e parte desse calor seja usada para fundir uma certa massa de gelo.
  • Como o calorímetro é ideal (isolado), vale a conservação da energia: o calor perdido pela água quente ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C} deve ser igual ao calor ganho pelo gelo para fundir a massa necessária. Não há outras trocas de calor nem perda para o ambiente.

Passo 3

Determinar quanto de gelo precisa derreter para que massas finais sejam iguais:
  • Massa total inicial: m_{\text{total}} = m_{\text{gelo,i}} + m_{\text{água,i}} = 200\,\mathrm{g} + 100\,\mathrm{g} = 300\,\mathrm{g}.á
  • Condição de massas iguais no equilíbrio implica massa de gelo final m_{\text{gelo,f}} = \tfrac{1}{2}m_{\text{total}} = 150\,\mathrm{g}.
  • Portanto, a massa de gelo que deve derreter é
m_{\text{derretida}} = m_{\text{gelo,i}} - m_{\text{gelo,f}} = 200\,\mathrm{g} - 150\,\mathrm{g} = 50\,\mathrm{g}.

Passo 4

Escrever a equação de balanço de energia e explicar as grandezas:
  • Calor necessário para fundir m_{\text{derretida}} de gelo (mantendo a temperatura em 0^\circ\mathrm{C}) é dado por:
Q_{\text{fusão}} = m_{\text{derretida}} \, L,ã
onde L é o calor latente de fusão (energia necessária para transformar 1\,\mathrm{g} de gelo em água a 0^\circ\mathrm{C}) — unidade \mathrm{J/g}.
  • Calor liberado pela água inicial ao esfriar de T até 0^\circ\mathrm{C} é:
Q_{\text{resfriamento}} = m_{\text{água,i}} \, c \, (T - 0^\circ\mathrm{C}) = m_{\text{água,i}} \, c \, T,áá
onde c é o calor específico da água (energia para elevar 1 g de água por 1^\circ\mathrm{C}) — unidade \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}.
  • Conservação de energia (calor perdido = calor ganho) fornece:
Q_{\text{resfriamento}} = Q_{\text{fusão}}.ã

Passo 5

Substituir os valores conhecidos na equação de balanço e resolver simbolicamente:
  • Usando m_{\text{derretida}} = 50\,\mathrm{g} e m_{\text{água,i}} = 100\,\mathrm{g}á, temos
100\,c\,T = 50\,L.
  • Isolando T,
T = \frac{50\,L}{100\,c} = \frac{L}{2c}.
Essa fórmula é intuitiva: a temperatura inicial necessária é proporcional ao calor latente e inversamente proporcional ao calor que 1 g de água pode liberar ao esfriar 1^\circ.

Passo 6

Substituir os valores numéricos das constantes e calcular T:
  • Usando L = 334\,\mathrm{J/g} e c = 4,18\,\mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}, temos
T = \frac{334}{2\times 4,18} = \frac{334}{8,36}.
  • Fazer a divisão:
T \approx 39,95^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática para a precisão das constantes usadas, podemos escrever T \approx 40,0^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação final e checagens rápidas:
  • Resultado significa que, se a água inicial estiver em aproximadamente 40^\circ\mathrm{C}, ao misturá-la com 200\,\mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} num calorímetro isolado ocorrerá fusão de 50\,\mathrm{g} de gelo, ficando 150\,\mathrm{g} de gelo e 150\,\mathrm{g} de água a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Verificação de ordem de grandeza: esfriar 100\,\mathrm{g} de água de 40^\circ a 0^\circ libera aproximadamente 100\times4,18\times40 \approx 16720\,\mathrm{J}. Fundir 50\,\mathrm{g} de gelo demanda 50\times334 \approx 16700\,\mathrm{J}. Os números batem bem, então o resultado faz sentido.

Resposta

T \approx 40,0^\circ\mathrm{C}

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