Um telefone celular opera na banda 860 a 900 Mhz e tem uma potência de 0,600 \mathrm{~W} emitida a partir de uma antena de 10,0 \mathrm{~cm} de comprimento.
a) Encontre a magnitude média do vetor de Poynting a 4,00 \mathrm{~cm} da antena. Assuma que a antena emite energia em frentes de onda cilíndricas (o padrão verdadeiro é mais complicado que isso).
b) A exposição máxima permitida é 0,57 \mathrm{~mW} / \mathrm{cm}^{2} para pessoas vivendo próximas a estações base de telefonia celular que estariam continuamente expostas à radiação. Compare o resultado da parte
(a) a esse padrão de segurança.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potência da antena: P=0{,}600\\ \mathrm{W}.
    • Comprimento da antena (altura efetiva da fonte cilíndrica): L=10{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
    • Distância onde se quer o fluxo: r=4{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}040\\ \mathrm{m}.
    • Padrão de segurança (exposição máxima): S_{\text{lim}}=0{,}57\\ \mathrm{mW/cm^{2}}.
  • O enunciado pede:
    (a) Encontrar a magnitude média do vetor de Poynting a r=4{,}00\\ \mathrm{cm} da antena, assumindo frentes de onda cilíndricas.
    (b) Comparar o resultado da parte (a) com o padrão de segurança dado.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida e relaxada): o vetor de Poynting \vec{S} representa a densidade de fluxo de potência de uma onda eletromagnética — isto é, a potência que passa por unidade de área por unidade de tempo. A magnitude média \langle S\rangle (que chamaremos de S_{\text{médio}}é) é simplesmente a potência por unidade de área média que atravessa uma superfície envolvente.
Para uma fonte que emite potência P uniformemente ao longo de superfícies cilíndricas coaxiais, a potência total que sai deve atravessar uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L. Então a relação de conservação de potência é
P = S_{\text{médio}} \times A_{\text{cil}},é
onde A_{\text{cil}} é a área lateral do cilindro ao raio r e comprimento L.

Passo 3

Área lateral de um cilindro de raio r e comprimento L é a circunferência vezes o comprimento:
A_{\text{cil}} = 2\pi r L.
Isolando S_{\text{médio}}é na equação de potência:
S_{\text{médio}}=\dfrac{P}{2\pi r L}.é
Essa fórmula vem diretamente da definição física: potência total dividida pela área pela qual a potência sai.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos (primeiro em unidades SI: P em \mathrm{W}, r e L em \mathrm{m}):
S_{\text{médio}}=\dfrac{0{,}600\\ \mathrm{W}}{2\pi\,(0{,}040\\ \mathrm{m})\,(0{,}100\\ \mathrm{m})}.é
Calcule o denominador passo a passo:
2\pi r L = 2\pi \times 0{,}040 \times 0{,}100 = 0{,}008\pi \\ \mathrm{m^{2}}.
Numericamente,
0{,}008\pi \approx 0{,}0251327\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Agora a divisão:
S_{\text{médio}}=\dfrac{0{,}600}{0{,}0251327}\\ \mathrm{W/m^{2}}\approx 23{,}9\\ \mathrm{W/m^{2}}.é
Expliquei cada passo para você conseguir repetir na prova sem calculadora (usar aproximação \pi\approx3{,}1416 e fazer multiplicações simples).

Passo 6

O enunciado de comparação usa unidades \mathrm{mW/cm^{2}}. Vamos converter:
  • Lembrete de conversão: 1\\ \mathrm{W/m^{2}} = \dfrac{1000\\ \mathrm{mW}}{10000\\ \mathrm{cm^{2}}}=0{,}1\\ \mathrm{mW/cm^{2}}.
    Portanto
S_{\text{médio}} \approx 23{,}9\\ \mathrm{W/m^{2}} \times 0{,}1\\ \dfrac{\mathrm{mW/cm^{2}}}{\mathrm{W/m^{2}}}=2{,}39\\ \mathrm{mW/cm^{2}}.é

Passo 7

Comparação com o limite de segurança:
S_{\text{lim}}=0{,}57\\ \mathrm{mW/cm^{2}}.
Razão entre o valor calculado e o limite:
\frac{S_{\text{médio}}}{S_{\text{lim}}}=\frac{2{,}39}{0{,}57}\approx 4{,}19.é
Ou seja, o fluxo calculado é aproximadamente 4{,}19 vezes maior que o limite de exposição contínua indicado.

Passo 8

Observação importante (cuidado na prova): a distância r=0{,}04\\ \mathrm{m} é pequena comparada ao comprimento de onda típico da banda 860\text{–}900\\ \mathrm{MHz} (onde \lambda\approx 0{,}33\text{–}0{,}35\\ \mathrm{m}). Isso significa que, na realidade, estamos provavelmente na região de campo próximo da antena, onde a distribuição de potência não é tão simples e a suposição de frentes de onda estritamente cilíndricas é uma aproximação grosseira. Como o enunciado pediu explicitamente para assumir frentes cilíndricas, usei essa hipótese; na prática o resultado deve ser visto como uma estimativa aproximada, possivelmente superestimando ou subestimando o valor real dependendo do padrão real da antena.

Resposta

(a) S_{\text{médio}}\approx 23{,}9\\ \mathrm{W/m^{2}} = 2{,}39\\ \mathrm{mW/cm^{2}}é
(b) Esse valor excede o limite de 0{,}57\\ \mathrm{mW/cm^{2}} por um fator \approx 4{,}19.

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