A luz dentro de uma gema (pedra preciosa) tem ângulo crítico igual a 25^{\circ}. Qual é a velocidade de propagação da luz nesse material?

Passo 1

O enunciado dá o ângulo crítico e pede a velocidade da luz dentro da gema. Informações e pedido:
  • Ângulo crítico: \theta_c = 25^\circ.
  • Pede: a velocidade v de propagação da luz no material (em \mathrm{m/s}).
  • Observação necessária (assumida): a gema está em contato com o ar, cujo índice de refração é aproximadamente n_{\text{ar}} = 1. Não há outras informações no enunciado, então usaremos n_{\text{ar}}=1.

Passo 2

Entender o que é ângulo crítico e a relação que ele dá:
  • Quando a luz passa de um meio mais refringente (índice maior, aqui a gema) para um meio menos refringente (ar), existe um ângulo limite chamado ângulo crítico \theta_c. Para incidência maior que \theta_c ocorre reflexão total interna.
  • A fórmula que relaciona o ângulo crítico com os índices de refração é
\sin\theta_c = \frac{n_{\text{menos}}}{n_{\text{mais}}},
onde n_{\text{mais}} é o índice do meio mais refringente (a gema) e n_{\text{menos}} é o índice do meio menos refringente (o ar). Aqui, n_{\text{mais}} = n_{\text{gema}} e n_{\text{menos}} = n_{\text{ar}} = 1.

Passo 3

Calcular o índice de refração da gema a partir de \theta_c:
  • Reescrevendo a fórmula para n_{\text{gema}}:
n_{\text{gema}} = \frac{n_{\text{ar}}}{\sin\theta_c}.
  • Substituindo n_{\text{ar}}=1 e \theta_c=25^\circ:
n_{\text{gema}} = \frac{1}{\sin 25^\circ}.
  • Avaliando numericamente (usar valor de \sin 25^\circ):
\sin 25^\circ \approx 0{,}422618, \qquad n_{\text{gema}} \approx \frac{1}{0{,}422618}\approx 2{,}366.

Passo 4

Relacionar índice de refração com velocidade de propagação:
  • Definição: o índice de refração n de um meio está relacionado à velocidade v da luz nesse meio pela fórmula
n = \frac{c}{v},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui usaremos c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Isolando v:
v = \frac{c}{n}.

Passo 5

Calcular a velocidade v dentro da gema:
  • Substituindo c e n_{\text{gema}}:
v = \frac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{2{,}366}\approx 1{,}268\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando de forma compatível com os dados (ângulo dado com dois algarismos), fica
v \approx 1{,}27\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem:
  • Razão \dfrac{v}{c} = \dfrac{1}{n_{\text{gema}}}\approx 0{,}423, ou seja, a luz viaja a cerca de 42{,}3\% da velocidade no vácuo dentro dessa gema.
  • Observação prática: o índice encontrado ( \approx 2{,}37) é alto, na faixa de gemas muito refringentes (por exemplo diamante tem n\approx 2{,}42), então o valor é plausível.

Resposta

v \approx 1{,}27\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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