Calcule a área das seguintes superfícies:
é parametrizada por
, com
e
.
Passo 1
Temos uma superfície paramétrica definida por σ(u,v) = (u, u cos v, u sen v), com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2π. O conteúdo aqui é área de superfície em Geometria Diferencial, e vamos usar a fórmula
onde σ_u e σ_v são as derivadas parciais de σ.
Passo 2
Calculamos os vetores parciais de σ em relação a u e v. Temos
Passo 3
Para obter o elemento de área, precisamos do produto vetorial σ_u×σ_v e de sua norma. Fazendo o cálculo:
e
Passo 4
Agora montamos a integral dupla substituindo a norma no domínio D: 0≤u≤2, 0≤v≤2π.
[
Área(S)=\int_{v=0}{2\pi}\int_{u=0}{2}u\sqrt{2},du,dv
=\sqrt{2}\int_{0}{2\pi}\Bigl[\tfrac{u2}{2}\Bigr]{0}^{2}dv
=\sqrt{2}\int{0}^{2\pi}2,dv
=2\sqrt{2}\bigl[ v\bigr]_{0}^{2\pi}
=4\sqrt{2},\pi.
Área(S)=\int_{v=0}{2\pi}\int_{u=0}{2}u\sqrt{2},du,dv
=\sqrt{2}\int_{0}{2\pi}\Bigl[\tfrac{u2}{2}\Bigr]{0}^{2}dv
=\sqrt{2}\int{0}^{2\pi}2,dv
=2\sqrt{2}\bigl[ v\bigr]_{0}^{2\pi}
=4\sqrt{2},\pi.
Resposta
A área da superfície S é
.