Calcule a área das seguintes superfícies:
S é parametrizada por sigma(u, v)=(u, u cos v, u sen v), com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

Temos uma superfície paramétrica definida por σ(u,v) = (u, u cos v, u sen v), com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2π. O conteúdo aqui é área de superfície em Geometria Diferencial, e vamos usar a fórmula
Área(S)=integral duplaD|sigmautimessigmav|,du,dv, Á
onde σ_u e σ_v são as derivadas parciais de σ.

Passo 2

Calculamos os vetores parciais de σ em relação a u e v. Temos
sigmau=partialsigmapartial u=l(1,cos v,sin vr),
sigmav=partialsigmapartial v=l(0,-usin v,ucos vr)

Passo 3

Para obter o elemento de área, precisamos do produto vetorial σ_u×σ_v e de sua norma. Fazendo o cálculo:
sigmautimessigmav=igl(1,cos v,sin vr)timesl(0,-usin v,ucos vr) =l(u,-ucos v,-usin vr) 
e
|sigmautimessigmav|=raizu^2+u^2cos^2v+u^2sin^2v=uraiz2

Passo 4

Agora montamos a integral dupla substituindo a norma no domínio D: 0≤u≤2, 0≤v≤2π.
[
Área(S)=\int_{v=0}{2\pi}\int_{u=0}{2}u\sqrt{2},du,dv
=\sqrt{2}\int_{0}{2\pi}\Bigl[\tfrac{u2}{2}\Bigr]{0}^{2}dv
=\sqrt{2}\int
{0}^{2\pi}2,dv
=2\sqrt{2}\bigl[ v\bigr]_{0}^{2\pi}
=4\sqrt{2},\pi.

Resposta

A área da superfície S é 4raiz2,pi.

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