Um disco com 10 cm de raio está em repouso e começa a rotacionar em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco. A aceleração angular fornecida ao disco é alpha=-5 t(t-10), em rad / s^2 e t in[0 s ; 10 s]. Calcule (a) a velocidade angular e (b) o número de voltas do disco no instante em que a aceleração angular é máxima. Neste mesmo instante, calcule a velocidade e a aceleração normal de um ponto do disco situado na metade do raio do disco.
a velocidade angular

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de raio 10 cm que começa a girar a partir do repouso. A aceleração angular que está sendo aplicada ao disco é dada por alpha = -5 t(t - 10) rad/s², onde t varia de 0 a 10 segundos. Nosso objetivo é:
(a) Calcular a velocidade angular do disco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente a relação entre aceleração angular e velocidade angular. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular ( alpha) é a derivada da velocidade angular ( omega) em relação ao tempo ( t). Matemáticamente, isso é:
alpha = domegadt
Como queremos encontrar a velocidade angular, precisamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos escrever a expressão da aceleração angular fornecida:
alpha(t) = -5 t(t - 10) = -5t^2 + 50t
Agora, para encontrar omega(t), integramos alpha(t) em relação a t:
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral (-5t^2 + 50t) , dt

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
omega(t) = -5 integral t^2 , dt + 50 integral t , dt = -5 ( t^33 ) + 50 ( t^22 ) + C
Simplificando:
omega(t) = -53 t^3 + 25 t^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Sabemos que o disco começa a partir do repouso, ou seja, quando t = 0, omega(0) = 0. Vamos usar essa condição para encontrar C:
0 = -53 (0)^3 + 25 (0)^2 + C Rightarrow C = 0
Portanto, a expressão da velocidade angular é:
omega(t) = -53 t^3 + 25 t^2

Passo 6

Agora, queremos a velocidade angular no instante em que a aceleração angular é máxima. Primeiro, vamos encontrar quando a aceleração angular é máxima.
A função da aceleração angular é:
alpha(t) = -5t^2 + 50t
Para encontrar o máximo, derivamos alpha(t) em relação a t e igualamos a zero:
dalphadt = -10t + 50 = 0 Rightarrow -10t + 50 = 0 Rightarrow t = 5 segundos
Então, a aceleração angular atinge seu máximo quando t = 5 s.

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade angular nesse instante ( t = 5 s):
omega(5) = -53 (5)^3 + 25 (5)^2 = -53 times 125 + 25 times 25 = -6253 + 625 = -625 + 18753 = 12503 approx 416.67 rad/s

Resposta

A velocidade angular do disco no instante em que a aceleração angular é máxima ( t = 5 s) é aproximadamente 416.67 rad/s.

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