Um disco com 10 cm de raio está em repouso e começa a rotacionar em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco. A aceleração angular fornecida ao disco é
, em rad
e
. Calcule (a) a velocidade angular e (b) o número de voltas do disco no instante em que a aceleração angular é máxima. Neste mesmo instante, calcule a velocidade e a aceleração normal de um ponto do disco situado na metade do raio do disco.
a velocidade angular
a velocidade angular
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de raio 10 cm que começa a girar a partir do repouso. A aceleração angular que está sendo aplicada ao disco é dada por
rad/s², onde
varia de 0 a 10 segundos. Nosso objetivo é:
(a) Calcular a velocidade angular do disco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente a relação entre aceleração angular e velocidade angular. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular (
) é a derivada da velocidade angular (
) em relação ao tempo (
). Matemáticamente, isso é:
Como queremos encontrar a velocidade angular, precisamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos escrever a expressão da aceleração angular fornecida:
Agora, para encontrar
, integramos
em relação a
:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Sabemos que o disco começa a partir do repouso, ou seja, quando
,
. Vamos usar essa condição para encontrar
:
Portanto, a expressão da velocidade angular é:
Passo 6
Agora, queremos a velocidade angular no instante em que a aceleração angular é máxima. Primeiro, vamos encontrar quando a aceleração angular é máxima.
A função da aceleração angular é:
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Então, a aceleração angular atinge seu máximo quando
s.
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade angular nesse instante (
s):
Resposta
A velocidade angular do disco no instante em que a aceleração angular é máxima (
s) é aproximadamente
rad/s.