Uma bola deve ser lançada do chão em direção a um aro distante de
, situado a
de altura. A bola deve ser lançada a
de inclinação com a horizontal. Calcule: (a) a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola; (b) o instante em que a bola atinge o aro; © a velocidade da bola ao atingir o aro. (d) Determine os componentes tangencial e normal da aceleração da bola no instante em que ela atinge o aro.
a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola;
a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de movimento de projéteis, que é um tópico da física que estuda o movimento de objetos lançados no ar sob a influência da gravidade. A gente precisa descobrir qual a velocidade inicial que a bola precisa ter para alcançar o aro a uma distância de 4,5 metros e uma altura de 2,5 metros, lançando-a com um ângulo de 60° em relação à horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do movimento de projéteis. A posição da bola em função do tempo é dada por:
onde:
- $ x(t) $ e $ y(t) $ são as posições horizontal e vertical da bola no tempo $ t $,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ \theta $ é o ângulo de lançamento (60° nesse caso),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).
Passo 3
Sabemos que o aro está a 4,5 metros de distância horizontal e a 2,5 metros de altura. Então, quando a bola estiver exatamente no aro, teremos:
Vamos usar a primeira equação para encontrar o tempo $ t $ que a bola leva para chegar a 4,5 metros de distância:
Sabemos que $ \cos(60°) = 0,5 $, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir esse valor de $ t $ na segunda equação para encontrar $ v_0 $:
Simplificando, sabemos que $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $:
Passo 5
Vamos isolar $ v_0^2 $:
Passo 6
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_0 $:
Resposta
A velocidade inicial que deve ser fornecida à bola é aproximadamente 8,66 metros por segundo.