Uma bola deve ser lançada do chão em direção a um aro distante de 4,5 m, situado a 2,5 m de altura. A bola deve ser lançada a 60^circ de inclinação com a horizontal. Calcule: (a) a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola; (b) o instante em que a bola atinge o aro; © a velocidade da bola ao atingir o aro. (d) Determine os componentes tangencial e normal da aceleração da bola no instante em que ela atinge o aro.
a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de movimento de projéteis, que é um tópico da física que estuda o movimento de objetos lançados no ar sob a influência da gravidade. A gente precisa descobrir qual a velocidade inicial que a bola precisa ter para alcançar o aro a uma distância de 4,5 metros e uma altura de 2,5 metros, lançando-a com um ângulo de 60° em relação à horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do movimento de projéteis. A posição da bola em função do tempo é dada por:
x(t) = v0 cdot cos(theta) cdot t
y(t) = v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 cdot g cdot t^2
onde:
  • $ x(t) $ e $ y(t) $ são as posições horizontal e vertical da bola no tempo $ t $,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ \theta $ é o ângulo de lançamento (60° nesse caso),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).

Passo 3

Sabemos que o aro está a 4,5 metros de distância horizontal e a 2,5 metros de altura. Então, quando a bola estiver exatamente no aro, teremos:
x(t) = 4,5 , m
y(t) = 2,5 , m
Vamos usar a primeira equação para encontrar o tempo $ t $ que a bola leva para chegar a 4,5 metros de distância:
t
Sabemos que $ \cos(60°) = 0,5 $, então:
4,5 = v0 cdot cos(60°) cdot t

Passo 4

Agora, vamos substituir esse valor de $ t $ na segunda equação para encontrar $ v_0 $:
t
Simplificando, sabemos que $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $:
v0
2,5 = v0 cdot sin(60°) cdot 9v0 - 12 cdot g cdot ( 9v0 )^2

Passo 5

Vamos isolar $ v_0^2 $:
v0^2
2,5 - 7,794 = -396,45v0^2
-5,294 = -396,45v0^2
5,294 = 396,45v0^2

Passo 6

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v_0 $:
v0

Resposta

A velocidade inicial que deve ser fornecida à bola é aproximadamente 8,66 metros por segundo.

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