1. Um disco e 20 cm de raio gira descrevendo ângulo de 30^{\circ} a cada 2,0 \mathrm{~s}. Determine (a) a sua velocidade angular e (b) o módulo da velocidade linear do ponto situado na borda do disco.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) A velocidade angular do disco.
  • (b) O módulo da velocidade linear do ponto situado na borda do disco.
As informações fornecidas pelo enunciado são:
  • O disco gira descrevendo um ângulo de \,30^\circ a cada \,2,0\\ \mathrm{s}.
  • O raio do disco é \,20\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Conceito e fórmula para velocidade angular: a velocidade angular média (ou constante, se o movimento for uniforme) é a variação do ângulo dividido pelo intervalo de tempo. A fórmula é
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t},
onde \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}), \Delta\theta é o deslocamento angular (em radianos) e \Delta t é o tempo (em segundos).
Importante: para usar a fórmula precisamos que \Delta\theta esteja em radianos, porque a unidade SI de \omega é \mathrm{rad/s}. Para converter graus em radianos usamos
1^\circ = \frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad},
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30^\circ = 30\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad}.

Passo 3

Calcular a velocidade angular usando os valores dados:
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\pi/6}{2,0\\ \mathrm{s}} = \frac{\pi}{12}\\ \mathrm{rad/s}.
Para um valor numérico aproximado, usando \pi \approx 3,1416:
\omega \approx \frac{3,1416}{12} \approx 0,2618\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos):
\omega \approx 0,262\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Relação entre velocidade linear e velocidade angular: para um ponto a uma distância r do centro (no nosso caso, a borda tem r igual ao raio), a velocidade linear tangencial tem módulo
v = \omega\, r,
onde v é em \mathrm{m/s}, \omega em \mathrm{rad/s} e r em \mathrm{m}.
Antes de multiplicar, convertemos o raio para metros:
20\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular v usando o valor exato simbólico e depois numericamente:
v = \omega\, r = \frac{\pi}{12}\cdot 0,20\\ \mathrm{m/s} = \frac{\pi}{60}\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico aproximado:
v \approx \frac{3,1416}{60} \approx 0,05236\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{cm/s} (multiplicando por 100):
v \approx 5,24\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando de forma coerente, podemos escrever v \approx 0,0524\\ \mathrm{m/s} ou v \approx 5,24\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Recapitulando de forma clara e final:
  • A velocidade angular ficou escrita exatamente como \pi/12\\ \mathrm{rad/s} e numericamente \approx 0,262\\ \mathrm{rad/s}.
  • A velocidade linear na borda ficou exatamente como \pi/60\\ \mathrm{m/s} e numericamente \approx 0,0524\\ \mathrm{m/s} (ou \approx 5,24\\ \mathrm{cm/s}).
Você mandou bem chegando até aqui — esse tipo de passo a passo é exatamente o que costuma cair na prova. Se quiser, eu repito com menos arredondamento ou já coloco em notação científica.

Resposta

(a)\\ \omega = \dfrac{\pi}{12}\\ \mathrm{rad/s} \approx 0,262\\ \mathrm{rad/s}\n (b)\\ v = \omega r = \dfrac{\pi}{60}\\ \mathrm{m/s} \approx 0,0524\\ \mathrm{m/s} = 5,24\\ \mathrm{cm/s}

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