Um disco com 5,83 cm de raio é parte de um motor e está acelerando a partir do repouso a 16,2 rad / s^2 até atingir uma velocidade angular máxima de 2360 rev / min.
Qual é a aceleração (radial e tangencial) de um ponto da borda do disco imediatamente antes de estar girando com a velocidade máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco que faz parte de um motor. Esse disco tem um raio de 5,83 , cm e está começando a girar a partir do repouso com uma aceleração angular de 16,2 , rad/s²². Ele vai acelerar até atingir uma velocidade angular máxima de 2360 , rev/min. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração radial e tangencial de um ponto na borda do disco imediatamente antes de atingir essa velocidade máxima.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, aceleração tangencial e aceleração radial. Vamos usar também algumas conversões de unidades para passar de revoluções por minuto para radianos por segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular máxima de revoluções por minuto para radianos por segundo, porque nossas outras medidas estão em radianos e segundos.
Sabemos que:
1 , rev = 2pi , rad
1 , min = 60 , s
Então, para converter 2360 , rev/min para rad/s:
omegamax = 2360 , revmin times 2pi , rad1 , rev times 1 , min60 , s
Vamos calcular isso:
omegamax = 2360 times 2pi60
omegamax = 2360 times pi30
omegamax approx 2360 times 0,10472
omegamax approx 247,9 , rad/s

Passo 3

Agora que temos a velocidade angular máxima em rad/s, vamos entender as acelerações que queremos encontrar.
  • Aceleração Tangencial ( at): Está relacionada à mudança na velocidade linear de um ponto no disco. É calculada por:
at = alpha times r
onde alpha é a aceleração angular e r é o raio.
  • Aceleração Radial ( ar): Está relacionada à mudança na direção do movimento, mantendo a velocidade constante. É calculada por:
ar = omega^2 times r
onde omega é a velocidade angular.
Nosso foco é imediatamente antes de atingir a velocidade máxima. Nesse ponto, o disco já está girando a omegamax e, por definição de velocidade máxima, a aceleração angular alpha é zero (já que não está mais acelerando). Isso significa que a aceleração tangencial também será zero nesse instante.

Passo 4

Vamos calcular a aceleração radial usando a velocidade angular máxima que calculamos.
Primeiro, convertemos o raio para metros:
r = 5,83 , cm = 0,0583 , m
Agora, aplicamos a fórmula da aceleração radial:
ar = omegamax^2 times r
ar = (247,9 , rad/s)^2 times 0,0583 , m
ar approx 61414,41 times 0,0583
ar approx 3576,6 , m/s² ²

Passo 5

Recapitulando:
  • A aceleração tangencial é zero porque, no instante imediatamente antes de atingir a velocidade máxima, o disco não está mais acelerando angularmente.
  • A aceleração radial calculada é aproximadamente 3576,6 , m/s²².

Resposta

A aceleração radial do ponto na borda do disco é aproximadamente 3576,6 , m/s²² e a aceleração tangencial é zero imediatamente antes de atingir a velocidade máxima.

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