Uma linha uniforme de cargas
, está localizada em
e
m . Uma carga puntiforme
está a 2 m da origem. Encontre
e onde ela está localizada, tal que o campo elétrico
seja nulo na origem.
Passo 1
Dados fornecidos:
- Uma linha uniforme de cargas com densidade linear
está “localizada” em e . (Interpreto isto como uma linha reta paralela ao eixo cuja posição no plano é o ponto .) - Uma carga puntiforme
está a da origem; seu valor e sua posição (ângulo/direção) são desconhecidos.
O que o enunciado pede: - Determinar o valor de
e a sua posição (coordenadas no plano ) de modo que o campo elétrico resultante seja nulo na origem.
Passo 2
Entender geometricamente: a distância da origem até a linha (a perpendicular do ponto
até a origem) é
O vetor posição do ponto onde está a linha é
. Do ponto de vista do campo no origin, o vetor que vai da linha até a origem é
.
Agora vamos às fórmulas (explicando bem cada símbolo):
- Campo de uma linha infinita de carga (paralela a
) a uma distância perpendicular tem magnitude
onde
é a permissividade do vácuo (
). O campo é radial, apontando para fora da linha se
. O vetor unitário da linha para a origem é
. Logo o vetor campo devido à linha, no ponto origem, é
Substituindo
:
Passo 3
Campo de uma carga puntiforme
localizada em
(posição em relação à origem): a expressão vetorial é
Como
, isto vira
Aqui
é a distância da carga
à origem; pelo enunciado
. Então
Passo 4
Condição de anulação do campo na origem:
Substituindo as expressões:
Rearranjando:
Observação importante (geometria útil para a prova): do lado direito aparece o vetor
, portanto
deve ser paralelo a
. Ou seja, a carga
necessariamente fica na mesma reta que liga a linha ao origin, apenas numa posição diferente. Assim podemos escrever
para algum escalar
. Como
, temos
A direção correta (sinal de
) vem do fato de que o campo da linha aponta na direção
quando
; para poder cancelar esse campo a contribuição do ponto deve gerar campo oposto. A conta a seguir confirmará o sinal de
, mas a posição é então
(Usei vírgula decimal:
e
.)
Passo 5
Agora usamos a igualdade vetorial para encontrar
. Substituindo
na igualdade
temos (fazendo a álgebra vetorial; os vetores
cancelam):
Simplificando o fator
do lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por
(ou simplesmente cancelando
):
É mais direto notar que
implica (cancelando
)
Substituindo
:
Portanto
é positivo e tem módulo
, e sua posição é
.
Passo 6
Checagem numérica rápida (para você saber que bate): o módulo do campo da linha em
é
O campo da carga pontual com
a
tem magnitude
mesma magnitude e direção oposta, logo cancelam mesmo. Parabéns — chegamos à solução!