Um disco circular de raio a está carregado com uma distribuição de carga dada por rhoS=1rho C / m^2. Calcule o potencial em ( 0,0, h ).

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio a no plano z=0 com densidade de carga superficial dependente do raio rho:
sigma(rho)=1rhol[C/ m^2r]
Queremos o potencial elétrico V no ponto (0,0,h) ao longo do eixo do disco. O conteúdo envolvido é a Lei de Coulomb para potencial:
V( r)=14piepsilon0integral duplasigma( r')| r- r'|,dA',
e será conveniente usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Escrevemos o potencial no ponto de interesse (0,0,h). Em coordenadas cilíndricas o elemento de área é dA'=rho',drho',dphi, e a distância até (0,0,h) vale raizrho'^2+h^2. Logo
V(0,0,h) =14piepsilon0 integralphi=0^2piintegralrho'=0^a sigma(rho'),rho',drho',dphiraizrho'^2+h^2
Substituindo sigma(rho')=1/rho', o fator rho' cancela:

Passo 3

Depois do cancelamento, o duplo integral fica
V(0,0,h) =14piepsilon0 integral0^2pi!dphi integral0^adrho'raizrho'^2+h^2 =14piepsilon0,(2pi), integral0^adrho'raizrho'^2+h^2
Isso simplifica para
V(0,0,h) =12epsilon0 integral0^adrho'raizrho'^2+h^2

Passo 4

Agora avaliamos a integral radial conhecida:
integraldrho'raizrho'^2+h^2 =lnl(rho'+raizrho'^2+h^2r)
Aplicando os limites de 0 a a:
integral0^adrho'raizrho'^2+h^2 =ln!l(a+raiza^2+h^2r) -ln!l(0+raiz0+h^2r) =ln!a+raiza^2+h^2h

Resposta

V(0,0,h) =12epsilon0 ln!gl(a+raiza^2+h^2hgr)

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