Um disco circular de raio
está uniformemente carregado com densidade superficial de carga
. O disco encontra-se sobre o plano
, com seu eixo ao longo do eixo
.
(a) Encontre o campo elétrico no ponto (
).
(b) A partir dessa expressão, deduza o campo elétrico devido a uma folha infinita de carga localizada no plano
.
(c) Se
, mostre que o campo elétrico
se assemelha ao campo devido a uma carga pontual.
Valor: 2,5 pontos
(a) Encontre o campo elétrico no ponto (
(b) A partir dessa expressão, deduza o campo elétrico devido a uma folha infinita de carga localizada no plano
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio
com densidade superficial de carga
no plano
. Pede o campo elétrico em
. O conteúdo aqui é usar a lei de Coulomb para uma distribuição de carga de superfície e explorar a simetria cilíndrica para obter apenas a componente ao longo de
.
Passo 2
Decompondo o disco em anéis de raio
e espessura
, cada anel tem área
e carga
Um elemento de carga em um anel produz em
um campo diferencial cujo módulo é
Mas só interessa a componente em
, dada por
Passo 3
Integramos de
a
:
Fazendo a mudança
, obtém-se
Logo
Como só há componente em
,
Passo 4
Para obter o campo de uma folha infinita, fazemos
. Nesse limite
e
. Assim
Passo 5
Se
, expanda
. Então
Logo
onde
. Esse é exatamente o campo de uma carga pontual.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para ,
,
como no caso de carga pontual.
(b)
(c) Para
como no caso de carga pontual.