Uma lâmina carregada com \rho_{S 1}=100,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ocupa o plano z=-3,00 \mathrm{~m}, e uma segunda lâmina carregada com \rho_{S 2}=-100,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} ocupa o plano z=+3,00 \mathrm{~m}. Determine a intensidade de campo elétrico \mathrm{P}(0,00 \mathrm{~m} ; 0,00 \mathrm{~m} ;-6,00 \mathrm{~m}).

Passo 1

O enunciado dá duas lâminas infinitas uniformemente carregadas:
– Lâmina 1 em z=-3,00\\ \mathrm{m} com \rho_{S1}=+100{,}0\\ \mathrm{nC/m^2}.
– Lâmina 2 em z=+3,00\\ \mathrm{m} com \rho_{S2}=-100{,}0\\ \mathrm{nC/m^2}.
Pede-se o campo elétrico em P(0,0,-6{,}00\\ \mathrm{m}). Para isso, vamos usar o resultado do campo de uma lâmina infinita, que é uniforme e dado por
E=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}
em módulo, apontando para fora se \sigma>0 e para dentro se \sigma<0.

Passo 2

Campo gerado pela lâmina 1 em z=-3 no ponto P (que está em z=-6, abaixo da lâmina):
– Módulo
E_1=\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}
– Direção: como \sigma_1>0, o campo sai da lâmina; abaixo dela aponta para z negativo (– \hat k).
Logo
\vec E_1 = -\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}\,\hat k.

Passo 3

Campo gerado pela lâmina 2 em z=+3 no ponto P (que está em z=-6, abaixo da lâmina):
– Módulo
E_2=\frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0}
– Direção: como \sigma_2<0, o campo aponta para a lâmina; abaixo dela aponta para z positivo ( + \hat k).
Logo
\vec E_2 = +\frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0}\,\hat k.

Passo 4

Como |\sigma_2|=\sigma_1, os módulos são iguais e as direções são opostas. Portanto
\vec E_1 + \vec E_2 = -\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}\,\hat k + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}\,\hat k = \vec 0.

Resposta

\displaystyle \vec E(0,0,-6{,}00\\ \mathrm{m}) = \vec 0.

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