Um disco delgado, de \boldsymbol{m} e raio de \boldsymbol{R}, está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu plano, e que passa por um ponto da periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcular o período do movimento harmônico simples que se instala. Resp.: \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{3 R}{2 g}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já peguei todos os dados do enunciado):
  • Um disco delgado tem massa \,m, e raio \,R.
  • O disco está suspenso por um eixo horizontal perpendicular ao seu plano que passa por um ponto da periferia (isto é, pelo bordo do disco).
  • O disco é deslocado ligeiramente de sua posição de equilíbrio e fica livre para oscilar sob a ação da gravidade.
    O que se pede:
  • Calcular o período do movimento harmônico simples que se estabelece para pequenas oscilações.

Passo 2

Ideia física e equação básica (explicando cada símbolo): para pequenas oscilações de um corpo rígido preso por um ponto, o corpo se comporta como um pêndulo físico (ou pêndulo de corpo rígido). A equação de movimento rotacional é a segunda lei de Newton para rotações:
I\,\ddot{\theta} = \tau,
onde:
  • I é o momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação (o eixo que passa pelo ponto da periferia),
  • \theta(t) é o ângulo de deslocamento pequeno em relação à vertical (função do tempo),
  • \ddot{\theta} é a derivada segunda de \theta em relação ao tempo (aceleração angular),
  • \tau é o torque resultante em torno do eixo.
    A força peso age sobre o centro de massa do disco (que fica a uma distância d do eixo). O torque devido ao peso, tomando sinal tal que restabelece a posição (\theta=0), é
\tau = - m g d \sin\theta,
onde g é a aceleração da gravidade e d é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa. No caso, o eixo passa pela periferia do disco e o centro está a uma distância \,d = R.
Para pequenas oscilações usamos a aproximação de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \theta \qquad\text{(válida para \(\theta\) em radianos e \(\theta\) pequeno).}á
Substituindo na equação de movimento obtemos a forma linear
I\,\ddot{\theta} \approx - m g d \,\theta.
Esta é a equação de um MHS angular do tipo \ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0, com
\omega^2 = \frac{m g d}{I},
onde \omega é a pulsação angular do movimento.
O período T está ligado a \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia I do disco em relação ao eixo na periferia. Primeiro o momento de inércia em relação ao centro (eixo perpendicular ao plano do disco que passa pelo centro) para um disco delgado é
I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} m R^2.
Comentário curto sobre essa fórmula: ela vem da integração da densidade superficial do disco somando r^2\,dm sobre o disco; o resultado padrão para um disco circular fino é \tfrac{1}{2}mR^2. Aqui m é a massa total e R o raio.
Agora usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner): se um corpo tem momento de inércia I_{\text{cm}} em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, então o momento de inércia em relação a um eixo paralelo deslocado de uma distância d é
I = I_{\text{cm}} + m d^2.
No nosso problema o eixo de rotação passa pela periferia, a distância do centro de massa até esse eixo é d=R. Logo
I = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2.

Passo 4

Efetuar a soma para I:
I = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2.
Agora substituir I e d=R na expressão de \omega^2:
\omega^2 = \frac{m g d}{I} = \frac{m g R}{\tfrac{3}{2} m R^2}.
Simplificando (corta-se m e uma potência de R):
\omega^2 = \frac{g}{\tfrac{3}{2} R} = \frac{2g}{3R}.

Passo 5

Obter o período T a partir de \omega. Como \omega = \sqrt{\omega^2},
\omega = \sqrt{\frac{2g}{3R}}.
Portanto
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}.
Interpretação rápida: o período cresce com a raiz do raio R (mais “alavanca” torna oscilações mais lentas) e diminui com a raiz de g (gravidade maior acelera as oscilações). O fator \tfrac{3}{2} no momento de inércia leva ao \tfrac{3}{2} no radicando.

Resposta

T=2\pi\sqrt{\dfrac{3R}{2g}}

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