Um disco delgado, de
e raio de
, está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu plano, e que passa por um ponto da periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcular o período do movimento harmônico simples que se instala. Resp.:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (já peguei todos os dados do enunciado):
- Um disco delgado tem massa
, e raio . - O disco está suspenso por um eixo horizontal perpendicular ao seu plano que passa por um ponto da periferia (isto é, pelo bordo do disco).
- O disco é deslocado ligeiramente de sua posição de equilíbrio e fica livre para oscilar sob a ação da gravidade.
O que se pede: - Calcular o período do movimento harmônico simples que se estabelece para pequenas oscilações.
Passo 2
Ideia física e equação básica (explicando cada símbolo): para pequenas oscilações de um corpo rígido preso por um ponto, o corpo se comporta como um pêndulo físico (ou pêndulo de corpo rígido). A equação de movimento rotacional é a segunda lei de Newton para rotações:
onde:
-
é o momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação (o eixo que passa pelo ponto da periferia), -
é o ângulo de deslocamento pequeno em relação à vertical (função do tempo), -
é a derivada segunda de em relação ao tempo (aceleração angular), -
é o torque resultante em torno do eixo.
A força peso age sobre o centro de massa do disco (que fica a uma distânciado eixo). O torque devido ao peso, tomando sinal tal que restabelece a posição , é
onde
é a aceleração da gravidade e
é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa. No caso, o eixo passa pela periferia do disco e o centro está a uma distância
.
Para pequenas oscilações usamos a aproximação de pequeno ângulo:
Substituindo na equação de movimento obtemos a forma linear
Esta é a equação de um MHS angular do tipo
, com
onde
é a pulsação angular do movimento.
O período
está ligado a
por
Passo 3
Calcular o momento de inércia
do disco em relação ao eixo na periferia. Primeiro o momento de inércia em relação ao centro (eixo perpendicular ao plano do disco que passa pelo centro) para um disco delgado é
Comentário curto sobre essa fórmula: ela vem da integração da densidade superficial do disco somando
sobre o disco; o resultado padrão para um disco circular fino é
. Aqui
é a massa total e
o raio.
Agora usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner): se um corpo tem momento de inércia
em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, então o momento de inércia em relação a um eixo paralelo deslocado de uma distância
é
No nosso problema o eixo de rotação passa pela periferia, a distância do centro de massa até esse eixo é
. Logo
Passo 4
Efetuar a soma para
:
Agora substituir
e
na expressão de
:
Simplificando (corta-se
e uma potência de
):
Passo 5
Obter o período
a partir de
. Como
,
Portanto
Interpretação rápida: o período cresce com a raiz do raio
(mais “alavanca” torna oscilações mais lentas) e diminui com a raiz de
(gravidade maior acelera as oscilações). O fator
no momento de inércia leva ao
no radicando.