A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de \mathbf{1} \mathbf{r a d} / \mathbf{s}. No instante inicial \mathbf{t}=\mathbf{0} o oscilador é posto em movimento com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{0}}=\mathbf{5} \mathbf{~ c m} / \mathbf{s}, estando na posição \mathbf{x}_{\mathbf{0}}=\mathbf{0}. Encontre \mathbf{x}(\mathbf{t}) e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos:
\gamma=1 \mathrm{~s}^{-1};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • \omega_0 = 1\\ \mathrm{rad/s} (frequência angular natural).
    • \gamma = 1\\ \mathrm{s}^{-1} (coeficiente de amortecimento, dado no caso).
    • posição inicial \,x(0)=x_0=0.
    • velocidade inicial \,\dot x(0)=v_0=5\\ \mathrm{cm/s}.
  • Pedidos:
    1. Encontrar \,x(t) para o caso \gamma=1\\ \mathrm{s}^{-1}.
    2. Esboçar (descrever) o gráfico de \,x(t) nesse caso.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento do oscilador linear amortecido (forma padrão):
x''(t)+2\gamma x'(t)+\omega_0^2 x(t)=0.
Aqui:
  • x(t) é a posição em função do tempo (em \mathrm{cm}).
  • x'(t) e x''(t) são a velocidade e a aceleração.
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento (unidade \mathrm{s}^{-1}).
  • \omega_0 é a frequência angular natural (unidade \mathrm{rad/s}).
Para resolver esse tipo de equação, forma-se a equação característica:
r^2 + 2\gamma r + \omega_0^2 = 0,
cuja solução é
r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}.
O sinal do discriminante \gamma^2-\omega_0^2 determina três regimes:
  • \gamma^2>\omega_0^2: amortecimento supercrítico (duas raízes reais negativas).
  • \gamma^2=\omega_0^2: amortecimento crítico (raiz dupla).
  • \gamma^2<\omega_0^2: subamortecido (raízes complexas → oscilações amortecidas).

Passo 3

Identificando o regime com os números dados:
\gamma=1,\qquad \omega_0=1 \quad\Rightarrow\quad \gamma^2-\omega_0^2=1-1=0.
Portanto estamos no caso de amortecimento crítico (raiz dupla). Para raiz dupla r=-\gamma a solução geral é da forma
x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. (Uma rápida explicação: quando a equação característica tem multiplicidade 2, a segunda solução independente é t e^{rt}.)

Passo 4

Aplicando as condições iniciais para determinar A e B.
De x(0)=0:
x(0)=(A+B\cdot 0)e^{0}=A=0.
Agora calcule a derivada e use \dot x(0)=v_0.
x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t},
x'(t)=\big(B)e^{-\gamma t} + (A+Bt)(- \gamma)e^{-\gamma t} = e^{-\gamma t}\big(B-\gamma A -\gamma B t\big).
Com A=0 isso simplifica para
x'(t)=e^{-\gamma t}\big(B-\gamma B t\big)=B e^{-\gamma t}(1-\gamma t).
Em t=0:
x'(0)=B = v_0.
Logo B=v_0. Assim a solução particular fica
x(t)=v_0\, t \,e^{-\gamma t}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos ( v_0=5\\ \mathrm{cm/s}, \gamma=1\\ \mathrm{s}^{-1}):
x(t)=5\,t\,e^{-t}\\ \mathrm{cm}.
Isso é a resposta analítica final. Agora vamos estudar o comportamento para esboçar o gráfico:
  • No instante t=0 temos x(0)=0 (começa na origem).
  • A inclinação inicial é \dot x(0)=5\\ \mathrm{cm/s}, ou seja, sobe inicialmente com velocidade 5\\ \mathrm{cm/s}.
  • Para encontrar o máximo (pico) da curva, derivamos x(t):
x'(t)=5\,e^{-t}(1-t).
Zerando x'(t) 1-t=0\Rightarrow t=1\\ \mathrm{s}. Portanto o máximo ocorre em t=1\\ \mathrm{s}.
  • Valor máximo:
x_{\max}=x(1)=5\cdot 1\cdot e^{-1}=\frac{5}{e}\\ \mathrm{cm}\approx 1,839\\ \mathrm{cm}.
  • Comportamento a longo prazo: x(t)\to 0 quando t\to\infty exponencialmente, sem oscilações (decai monotonicamente após o pico). Isso é típico do amortecimento crítico: retorno rápido ao equilíbrio sem oscilar.

Passo 6

Descrição do esboço do gráfico (para você desenhar na prova):
  • Eixo vertical: x (em \mathrm{cm}). Eixo horizontal: t (em s).
  • Ponto inicial: (0,0).
  • Sobe rapidamente, atinge pico em (1\\ \mathrm{s},\,5/e\\ \mathrm{cm}) (aprox (1,1{,}839\\ \mathrm{cm})).
  • Depois do pico decai suavemente para zero sem cruzar o eixo x (sem oscilações), aproximando-se de zero exponencialmente.
  • Curva com forma característica de t e^{-t}: começa com inclinação positiva, tem máximo e depois decai.

Resposta

x(t)=5\,t\,e^{-t}\\ \mathrm{cm}
Máximo em t=1\\ \mathrm{s}, com x_{\max}=5/e\\ \mathrm{cm}\\ (\approx 1{,}839\\ \mathrm{cm})

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