A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de
. No instante inicial
o oscilador é posto em movimento com velocidade
, estando na posição
. Encontre
e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos:
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados:
-
(frequência angular natural). -
(coeficiente de amortecimento, dado no caso). - posição inicial
. - velocidade inicial
.
-
- Pedidos:
- Encontrar
para o caso . - Esboçar (descrever) o gráfico de
nesse caso.
- Encontrar
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento do oscilador linear amortecido (forma padrão):
Aqui:
-
é a posição em função do tempo (em ). -
e são a velocidade e a aceleração. -
é o coeficiente de amortecimento (unidade ). -
é a frequência angular natural (unidade ).
Para resolver esse tipo de equação, forma-se a equação característica:
cuja solução é
O sinal do discriminante
determina três regimes:
-
: amortecimento supercrítico (duas raízes reais negativas). -
: amortecimento crítico (raiz dupla). -
: subamortecido (raízes complexas → oscilações amortecidas).
Passo 3
Identificando o regime com os números dados:
Portanto estamos no caso de amortecimento crítico (raiz dupla). Para raiz dupla
a solução geral é da forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. (Uma rápida explicação: quando a equação característica tem multiplicidade 2, a segunda solução independente é
.)
Passo 4
Aplicando as condições iniciais para determinar
e
.
De
:
Agora calcule a derivada e use
.
Com
isso simplifica para
Em
:
Logo
. Assim a solução particular fica
Passo 5
Substituindo os valores numéricos (
,
):
Isso é a resposta analítica final. Agora vamos estudar o comportamento para esboçar o gráfico:
- No instante
temos (começa na origem). - A inclinação inicial é
, ou seja, sobe inicialmente com velocidade . - Para encontrar o máximo (pico) da curva, derivamos
:
Zerando
dá
. Portanto o máximo ocorre em
.
- Valor máximo:
- Comportamento a longo prazo:
quando exponencialmente, sem oscilações (decai monotonicamente após o pico). Isso é típico do amortecimento crítico: retorno rápido ao equilíbrio sem oscilar.
Passo 6
Descrição do esboço do gráfico (para você desenhar na prova):
- Eixo vertical:
(em ). Eixo horizontal: (em s). - Ponto inicial:
. - Sobe rapidamente, atinge pico em
(aprox ). - Depois do pico decai suavemente para zero sem cruzar o eixo
(sem oscilações), aproximando-se de zero exponencialmente. - Curva com forma característica de
: começa com inclinação positiva, tem máximo e depois decai.
Resposta
Máximo em
, com