[2,5] Alguns membros da tripulação tentam escapar de um submarino avariado 200 m abaixo da superfície. Que forca deve ser aplicada a uma escotilha de emergência, de 1.00 m por 0,50 \mathrm{~m}, para abri-la para fora nessa profundidade? Suponha a massa específica da água do oceano é 1020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que a pressão do ar no interior do submarino é 1,50 \mathrm{~atm}.

Passo 1

O problema pede a força necessária para abrir para fora uma escotilha retangular de dimensões 1{,}00\\ \text{m} por 0{,}50\\ \text{m} que está a 200\\ \text{m} abaixo da superfície do oceano. Dados fornecidos:
  • Dimensões da escotilha: 1{,}00\\ \text{m} por 0{,}50\\ \text{m}.
  • Profundidade: h=200\\ \text{m}.
  • Massa específica da água do oceano: \rho=1020\\ \text{kg}\!/\!\text{m}^3.
  • Pressão do ar no interior do submarino: P_{\text{in}}=1{,}50\\ \text{atm}.
  • Pressão atmosférica ao nível do mar (valor padrão que vou usar): 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • A gravidade: vou usar g=9{,}80\\ \text{m}\!/\!\text{s}^2.
A área da escotilha é um dado que podemos obter das dimensões: A = largura \times altura. A resposta pedida é a força que deve ser aplicada para abrir a escotilha para fora nessa profundidade.

Passo 2

Conceito físico essencial (aula rápida): a pressão absoluta no interior de um fluido em repouso a uma profundidade h é dada pela lei da hidroestática
P_{\text{fora}} = P_{0} + \rho g h,
onde:
  • P_{\text{fora}} é a pressão do fluido na profundidade h (pressão externa sobre a escotilha),
  • P_{0} é a pressão na superfície do fluido (no caso o ar da superfície, que é a pressão atmosférica),
  • \rho é a massa específica do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a profundidade.
Para abrir a escotilha para fora é preciso vencer a diferença de pressão entre o lado externo e o interno. A força resultante que empurra a escotilha para dentro é
\Delta P = P_{\text{fora}} - P_{\text{in}},
e a força que você deve aplicar para abrir a escotilha (no sentido para fora) deve ser maior que essa força resultante sobre a área A:
F = \Delta P \times A.

Passo 3

Calcular a área da escotilha:
A = 1{,}00\\ \text{m} \times 0{,}50\\ \text{m} = 0{,}500\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular a contribuição hidroestática \rho g h:
\rho g h = 1020\\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\times 9{,}80\\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\times 200\\ \text{m} = 1{,}9992\times10^{6}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Calcular a pressão externa absoluta P_{\text{fora}} somando a pressão atmosférica:
P_{\text{fora}} = P_{0} + \rho g h = 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa} + 1{,}9992\times10^{6}\\ \text{Pa} = 2{,}10052\times10^{6}\\ \text{Pa}.

Passo 6

Converter a pressão interna P_{\text{in}} de atm para pascal:
P_{\text{in}} = 1{,}50\\ \text{atm} = 1{,}50\times 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa} = 1{,}5195\times10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 7

Calcular a diferença de pressão que empurra a escotilha para dentro:
\Delta P = P_{\text{fora}} - P_{\text{in}} = 2{,}10052\times10^{6}\\ \text{Pa} - 1{,}5195\times10^{5}\\ \text{Pa} = 1{,}94857\times10^{6}\\ \text{Pa}.

Passo 8

Calcular a força necessária para abrir a escotilha (força para fora que deve ser aplicada):
F = \Delta P \times A = 1{,}94857\times10^{6}\\ \text{Pa} \times 0{,}500\\ \text{m}^2 = 9{,}74285\times10^{5}\\ \text{N}.
Interpretação rápida para dar aquela noção: isso corresponde a aproximadamente 9{,}74\times10^{5}\\ \text{N} ou 974\\ \text{kN}, isto é, uma força equivalente ao peso de cerca de \dfrac{9{,}74285\times10^{5}}{9{,}80}\approx 9,94\times10^{4}\\ \text{kg} (quase 100 toneladas). Por isso é impossível abrir a escotilha para fora nessa profundidade sem equalizar pressões.

Resposta

9{,}74\times10^{5}\\ \text{N}

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