Um disco delgado, uniformemente carregado e de raio R, possui uma carga total Q. Encontre o potencial que ele cria a uma distância z sobre o eixo do disco.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico criado por um disco delgado de raio R e carga total Q, uniformemente distribuída, em um ponto sobre o seu eixo a uma distância z do centro. Para resolver, vamos usar a superposição de anéis concêntricos e a expressão do potencial de um elemento de carga em um ponto.

Passo 2

Como a carga é uniforme na superfície, a densidade superficial é
sigma = Qpi R^2
Um anel de raio r e espessura dr tem carga
dq = sigma cdot (área do anel) = sigmacdot 2pi r,dr á

Passo 3

O potencial gerado por esse anel, no ponto sobre o eixo a distância z, vale
dV = 14pivarepsilon0,dqraizr^2+z^2 = 14pivarepsilon0,sigma,2pi r,drraizr^2+z^2
Para obter o potencial total V(z), integramos r de 0 até R:
V(z)=integral0^RdV = sigma2varepsilon0integral0^Rr,drraizr^2+z^2

Passo 4

Para calcular a integral, fazemos a substituição
u = r^2 + z^2, du = 2r,dr
de modo que
integral0^Rr,drraizr^2+z^2 = integralu=z^2^u=R^2+z^2du2raizu = l[raizur]z^2^R^2+z^2 = raizR^2+z^2-z
Logo,
V(z)=sigma2varepsilon0,l(raizR^2+z^2-zr)

Passo 5

Substituindo sigma = Q/(pi R^2), obtemos
V(z) = Qpi R^2,12varepsilon0,l(raizR^2+z^2-zr) = Q2pivarepsilon0,R^2,l(raizR^2+z^2-zr)

Resposta

V(z)=Q2pivarepsilon0,R^2,l(raizR^2+z^2-zr)

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