Um disco de espessura
tem um raio
e um furo central de raio
. Considerando a condutividade do disco
, determine a resistência e a condutância entre:
(a) o furo e a periferia do disco.
(a) o furo e a periferia do disco.
Passo 1
O enunciado dá um disco condutor de espessura
, raio externo
e um furo central (um orifício) de raio
. A condutividade do material do disco é
. A pergunta é: determinar a resistência e a condutância entre o furo (superfície interna circular) e a periferia do disco (borda externa circular).
Informações relevantes dadas:
O objetivo é achar
(resistência elétrica) entre os eletrodos colocados no círculo interno de raio
e no círculo externo de raio
, e a condutância
.
Passo 2
Ideia física e simetria (sem resolver ainda): pelo formato anular e por termos um eletrodo circular interno e outro circular externo, as superfícies de igual potencial serão círculos concêntricos. Assim a corrente que sai do furo e vai para a periferia é, por simetria, essencialmente radial. Para explorar isso, vamos dividir o anel em anéis elementares concentricos e somar (integrar) as contribuições de resistência desses anéis.
Vou explicar a fórmula básica que usamos para um elemento: para um pedaço de material com comprimento (no sentido da corrente)
e área de seção transversal
, a resistência é dada por
onde
é a resistividade elétrica do material. Como o enunciado deu a condutividade
, lembramos que
Passo 3
Definindo um elemento diferencial: considere um anel entre raio
e
. A corrente elétrica atravessa esse anel na direção radial por uma “faixa” cuja seção transversal (perpendicular à direção da corrente) é a circunferência do anel vezes a espessura
. Portanto a área da seção transversal do fluxo de corrente naquele raio é
O comprimento que a corrente percorre nesse elemento no sentido radial é
. Aplicando a fórmula de resistência ao elemento diferencial, obtemos a resistência desse anel:
Aqui expliquei cada termo:
é a resistividade,
é o comprimento radial pequeno, e
é a área disponível para a corrente naquele raio.
Passo 4
Agora integramos
desde o raio interno
até o raio externo
para obter a resistência total entre furo e periferia:
Factorizando constantes:
A integral
é a conhecida integral do logaritmo natural, cujo resultado é
. Assim
Passo 5
Interpretando o resultado e verificações rápidas: a resistência cresce quando
diminui (o furo fica menor — menos área para sair a corrente) porque
aumenta; se
então
e
(curto-circuito espacialmente pequeno), se
então
(ponto de contato ideal reduz a área e diverge a resistência). As unidades conferem:
tem unidade
,
tem unidade
, logo
tem unidade de ohm e o logaritmo é adimensional.
Passo 6
Condutância: a condutância é o inverso da resistência. Invertendo a expressão encontrada:
Aqui
tem unidade de siemens (
).