Um disco de espessura t tem um raio b e um furo central de raio a. Considerando a condutividade do disco \sigma, determine a resistência e a condutância entre:
(a) o furo e a periferia do disco.

Passo 1

O enunciado dá um disco condutor de espessura t, raio externo b e um furo central (um orifício) de raio a. A condutividade do material do disco é \sigma. A pergunta é: determinar a resistência e a condutância entre o furo (superfície interna circular) e a periferia do disco (borda externa circular).
Informações relevantes dadas:
\text{espessura } t,\quad \text{raio interno } a,\quad \text{raio externo } b,\quad \text{condutividade } \sigma.
O objetivo é achar \,R (resistência elétrica) entre os eletrodos colocados no círculo interno de raio a e no círculo externo de raio b, e a condutância \,G=1/R.

Passo 2

Ideia física e simetria (sem resolver ainda): pelo formato anular e por termos um eletrodo circular interno e outro circular externo, as superfícies de igual potencial serão círculos concêntricos. Assim a corrente que sai do furo e vai para a periferia é, por simetria, essencialmente radial. Para explorar isso, vamos dividir o anel em anéis elementares concentricos e somar (integrar) as contribuições de resistência desses anéis.
Vou explicar a fórmula básica que usamos para um elemento: para um pedaço de material com comprimento (no sentido da corrente) L e área de seção transversal A, a resistência é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade elétrica do material. Como o enunciado deu a condutividade \sigma, lembramos que
\rho=\frac{1}{\sigma}.

Passo 3

Definindo um elemento diferencial: considere um anel entre raio r e r+\mathrm{d}r. A corrente elétrica atravessa esse anel na direção radial por uma “faixa” cuja seção transversal (perpendicular à direção da corrente) é a circunferência do anel vezes a espessura t. Portanto a área da seção transversal do fluxo de corrente naquele raio é
A(r)=2\pi r\,t.
O comprimento que a corrente percorre nesse elemento no sentido radial é \mathrm{d}r. Aplicando a fórmula de resistência ao elemento diferencial, obtemos a resistência desse anel:
\mathrm{d}R=\rho\frac{\mathrm{d}r}{A(r)}=\frac{1}{\sigma}\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r\,t}.
Aqui expliquei cada termo: \rho=1/\sigma é a resistividade, \mathrm{d}r é o comprimento radial pequeno, e 2\pi r t é a área disponível para a corrente naquele raio.

Passo 4

Agora integramos \mathrm{d}R desde o raio interno r=a até o raio externo r=b para obter a resistência total entre furo e periferia:
R=\int_{a}^{b}\mathrm{d}R=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma}\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r\,t}.
Factorizando constantes:
R=\frac{1}{2\pi\sigma t}\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}r}{r}.
A integral \int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}r}{r} é a conhecida integral do logaritmo natural, cujo resultado é \ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr). Assim
R=\frac{1}{2\pi\sigma t}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr).

Passo 5

Interpretando o resultado e verificações rápidas: a resistência cresce quando a diminui (o furo fica menor — menos área para sair a corrente) porque \ln(b/a) aumenta; se a\to b então \ln(b/a)\to0 e R\to0 (curto-circuito espacialmente pequeno), se a\to0 então R\to\infty (ponto de contato ideal reduz a área e diverge a resistência). As unidades conferem: \sigma tem unidade \text{S}\!\cdot\!\text{m}^{-1}, t tem unidade \text{m}, logo 1/(2\pi\sigma t) tem unidade de ohm e o logaritmo é adimensional.

Passo 6

Condutância: a condutância é o inverso da resistência. Invertendo a expressão encontrada:
G=\frac{1}{R}=\frac{1}{\dfrac{1}{2\pi\sigma t}\ln\!\bigl(\dfrac{b}{a}\bigr)}= \frac{2\pi\sigma t}{\ln\!\bigl(\dfrac{b}{a}\bigr)}.
Aqui \,G tem unidade de siemens ( \text{S}).

Resposta

R=\frac{1}{2\pi\sigma t}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr)
G=\frac{2\pi\sigma t}{\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr)}

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