Questão 02: Uma placa de material dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8 e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme de 8 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Se o material for sem perdas, calcule: (a) \vec{E}; (b) \vec{P}; (c) o número médio de dipolos por metro cúbico, se o momento de dípolo médio for 10^{-29} C . m.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule três coisas para uma placa dielétrica sem perdas, dadas certas informações. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
\varepsilon_r = 3{,}8
\text{densidade de fluxo elétrico (vetor) } \vec{D} \text{ uniforme, com magnitude } |\vec{D}| = 8\\ \mathrm{nC/m^{2}} = 8\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}é
O material é sem perdas (ou seja, linear, isotrópico, sem condutividade relevante aqui).
Pedidos:
(a) Calcular o campo elétrico vetorial \vec{E}.
(b) Calcular a polarização vetorial \vec{P}.
(c) Calcular o número médio de dipolos por metro cúbico N, dado que o momento de dipolo médio é 10^{-29}\\ \mathrm{C\cdot m}.
Observação sobre direção: o enunciado só dá a magnitude de \vec{D} e diz que é uniforme. Portanto \vec{E} e \vec{P} terão a mesma direção de \vec{D}. Vou escrever as respostas em forma vetorial com um versor genérico \hat{n} indicando essa direção (se precisar, no exame pode ser \hat{x}, \hat{z}, etc.).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicadas de maneira prática, passo a passo):
  1. O que é \vec{D}, \vec{E} e \vec{P} (intuição rápida):
  • \vec{D} é a densidade de fluxo elétrico (também chamada deslocamento elétrico): mede a “quantidade” de campo elétrico levando em conta o material. Unidade: \mathrm{C/m^{2}}.
  • \vec{E} é o campo elétrico (força por carga). Unidade: \mathrm{V/m}.
  • \vec{P} é a polarização, isto é, o momento de dipolo elétrico por unidade de volume (dipolos alinhados no material). Unidade: \mathrm{C/m^{2}} (momento por volume dá C·m/m^3 = C/m^2).
  1. Relações entre eles para um dielétrico linear e isotrópico:
  • Permissividade do meio: \varepsilon = \varepsilon_r\,\varepsilon_0, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Valor numérico:
\varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • A relação fundamental:
\vec{D} = \varepsilon \,\vec{E} = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\vec{E}.
Isto significa que \vec{E} e \vec{D} são paralelos e a magnitude de \vec{E} é dada por |\vec{E}| = |\vec{D}|/(\varepsilon_0\varepsilon_r).
  • A polarização está relacionada por:
\vec{P} = \vec{D} - \varepsilon_0\,\vec{E}.
Outra forma útil (usando susceptibilidade elétrica \chi_e, com \chi_e=\varepsilon_r-1) é
\vec{P} = \varepsilon_0\,\chi_e\,\vec{E}.
Ambas as fórmulas são equivalentes; vou usar a que torna a conta mais direta.
  1. Polarização e número de dipolos:
    A polarização \vec{P} é o momento dipolar total por unidade de volume. Se cada dipolo médio tem momento \vec{p}_{\text{médio}}é e há N dipolos por m ^3,
\vec{P} = N\,\vec{p}_{\text{médio}}.é
Daí, o número de dipolos por volume é
N=\frac{|\vec{P}|}{|\vec{p}_{\text{médio}}|}.é

Passo 3

Cálculo de \vec{E}.
Usamos a relação em forma escalar (porque vetores têm mesma direção):
|\vec{E}| = \frac{|\vec{D}|}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}.
Substituindo valores:
|\vec{D}| = 8\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}},
\varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\varepsilon_r = 3{,}8.
Calculemos \varepsilon_0\varepsilon_r:
\varepsilon_0\varepsilon_r = 8{,}854187817\times10^{-12}\times3{,}8 =3{,}36459137066\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Agora:
|\vec{E}| = \frac{8\times10^{-9}}{3{,}36459137066\times10^{-11}} \approx 2{,}378\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando razoavelmente:
|\vec{E}|\approx 2{,}38\times10^{2}\\ \mathrm{V/m} = 237{,}8\\ \mathrm{V/m}.
Como \vec{E} tem a mesma direção de \vec{D}, escrevemos vetorialmente:
\vec{E} \approx 2{,}38\times10^{2}\,\hat{n}\\ \mathrm{V/m},
onde \hat{n} é o versor na direção de \vec{D}.

Passo 4

Cálculo de \vec{P}.
Usarei a fórmula direta que dá \vec{P} em termos de \vec{D}:
\vec{P} = \vec{D} - \varepsilon_0\,\vec{E}.
Mas é mais prático usar a versão que elimina \vec{E}: usando \vec{E}=\vec{D}/(\varepsilon_0\varepsilon_r),
\vec{P} = \vec{D} - \varepsilon_0\frac{\vec{D}}{\varepsilon_0\varepsilon_r} = \left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)\vec{D} = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\,\vec{D}.
Calcule o fator:
\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}=\frac{3{,}8-1}{3{,}8}=\frac{2{,}8}{3{,}8}\approx 0{,}7368421053.
Então a magnitude:
|\vec{P}| = 0{,}7368421053\times|\vec{D}| = 0{,}7368421053\times 8\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}} \approx 5{,}894736842\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Arredondando:
|\vec{P}|\approx 5{,}89\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Vetorialmente (mesma direção de \vec{D}):
\vec{P}\approx 5{,}89\times10^{-9}\,\hat{n}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Nota didática rápida: essa fórmula mostra que nem toda parte de \vec{D} está em \varepsilon_0\vec{E}; a diferença é a polarização ligada aos dipolos do material.

Passo 5

Cálculo do número médio de dipolos por metro cúbico N.
Relação usada:
N=\frac{|\vec{P}|}{|\vec{p}_{\text{médio}}|}.é
Temos |\vec{P}|\approx 5{,}894736842\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}} (usei o valor não arredondado para maior precisão) e o momento de dipolo médio dado é
|\vec{p}_{\text{médio}}| = 10^{-29}\\ \mathrm{C\cdot m}.é
Então:
N = \frac{5{,}894736842\times10^{-9}}{1\times10^{-29}} = 5{,}894736842\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Arredondando:
N\approx 5{,}89\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Interpretação rápida: são cerca de 6\times10^{20} dipolos por metro cúbico — número grande, o que é típico para densidades atômicas/moléculas em sólidos.

Passo 6

Verificação de unidades e observações finais rápidas:
  • \vec{E} em \mathrm{V/m} — ok.
  • \vec{P} em \mathrm{C/m^{2}} — ok (porque momento dipolar total por volume tem essa unidade).
  • N em \mathrm{m^{-3}} — ok.
Lembre-se: todas as respostas são vetoriais e têm a direção de \vec{D}; eu as escrevi com o versor \hat{n}.

Resposta

\vec{E}\approx 2{,}38\times10^{2}\,\hat{n}\\ \mathrm{V/m}
\vec{P}\approx 5{,}89\times10^{-9}\,\hat{n}\\ \mathrm{C/m^{2}}
N\approx 5{,}89\times10^{20}\\ \mathrm{m^{-3}}

Exercícios relacionados