Questão 03: Duas placas circulares e paralelas, de raio a, estão localizadas em z = 0 e
. A placa superior (
) está no potencial
, enquanto a placa inferior (
) está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial,
, onde
é uma constante. (a) Determine a intensidade de campo elétrico
entre as placas. (b) Determine a densidade total de corrente
entre as placas. (c) Determine a corrente total I entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Duas placas circulares paralelas de raio
, localizadas em e . - A placa em
está no potencial . - A placa em
está aterrada (potencial ). - No espaço entre as placas existe um material condutor com condutividade dependente do raio:
, onde é constante. - Pedidos:
(a) Determinar a intensidade do campo elétricoentre as placas.
(b) Determinar a densidade de correnteentre as placas.
(c) Determinar a corrente totalentre as placas.
(d) Determinar a resistência entre as placas.
Passo 2
Relações físicas fundamentais e ideias iniciais (mini-aula do que vamos usar):
- Campo elétrico como gradiente do potencial:
onde
é o potencial elétrico. Isso significa que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.
- Lei de Ohm local (no contínuo):
onde
é a densidade de corrente (A/m
) e
é a condutividade local (S/m). Aqui
depende de
.
- Condição de regime estacionário (conservação de carga, corrente contínua sem acúmulo):
Isto significa que em qualquer volume interior não há acúmulo de carga: a corrente que entra sai.
- Coordenadas: pela geometria (placas circulares coaxiais) usamos coordenadas cilíndricas
. A área de um anel de raio e espessura é .
Vou explorar simetrias: as placas são circulares e coaxiais e as condições de contorno não dependem de
. Portanto não há dependência em
. Resta pensar se o potencial pode depender de
. Vamos testar a hipótese mais simples (e física): supor
depende só de
, isto é
. Vou verificar a consistência dessa hipótese com
.
Passo 3
Verificação da hipótese
e dedução de uma equação para
:
- Se
então . Note que neste caso tem só componente em e depende apenas de . - A condutividade é
. Assim a densidade de corrente será
- Calcule a divergência em coordenadas cilíndricas (relembrando: para um campo que só tem componente
, . Aqui , logo)
- Como
é uma coordenada independente de , isso dá
- Impondo a condição de regime estacionário
obtemos
- Para
e isso implica
Portanto a hipótese
é consistente e leva à equação ordinária
, ou seja,
é linear em
.
Passo 4
Resolver para
usando as condições de contorno:
- A solução geral de
é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno:
- Logo o potencial entre as placas é
Passo 5
Determinar o campo elétrico
(resposta do item (a)) e explicar:
- Usando
e que depende só de ,
- Interpretação: o campo é uniforme, apontando no sentido
(da placa de maior potencial para a de menor), e tem magnitude .
Passo 6
Determinar a densidade de corrente
(item (b)), com explicação do que cada símbolo significa:
- Relação local de Ohm:
. - Inserindo
e ,
- Significado:
na fórmula é a coordenada radial (distância ao eixo), então a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância ao eixo. O sinal negativo indica que a corrente está fluindo no sentido (da placa em para ).
Passo 7
Calcular a corrente total
entre as placas (item (c)) passo a passo:
- A corrente total que atravessa uma seção transversal (por exemplo, o plano
constante entre as placas) é a integral da componente normal da densidade de corrente sobre a área da placa:
- Tomamos
como o disco de raio em um plano constante; nesse caso . Como temos
- Inserindo
,
- Calcule as integrais:
- Assim
- O sinal negativo indica sentido de fluxo para
. A magnitude da corrente é
Passo 8
Determinar a resistência entre as placas (item (d)) e explicar a fórmula usada:
- A resistência efetiva entre as placas é a razão entre a diferença de potencial aplicada e a corrente total (lei de Ohm macroscópica):
- Usando o valor de
do passo anterior,
- Observação de unidades:
tem unidades tais que é condutividade (S/m); a expressão dá resistência com unidades de ohms (Ω).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) (magnitude
).\n
(d)
(b)
(c)
(d)