Questão 03: Duas placas circulares e paralelas, de raio a, estão localizadas em z = 0 e \mathrm{z}=d. A placa superior ( \mathrm{z}=d ) está no potencial V_{0}, enquanto a placa inferior ( \mathrm{z}=0 ) está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial, \sigma(\rho)=\sigma_{0} \rho, onde \sigma_{0} é uma constante. (a) Determine a intensidade de campo elétrico \vec{E} entre as placas. (b) Determine a densidade total de corrente \vec{J} entre as placas. (c) Determine a corrente total I entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Duas placas circulares paralelas de raio a, localizadas em z=0 e z=d.
  • A placa em z=d está no potencial V_0.
  • A placa em z=0 está aterrada (potencial 0).
  • No espaço entre as placas existe um material condutor com condutividade dependente do raio: \sigma(\rho)=\sigma_0\,\rho, onde \sigma_0 é constante.
  • Pedidos:
    (a) Determinar a intensidade do campo elétrico \vec{E} entre as placas.
    (b) Determinar a densidade de corrente \vec{J} entre as placas.
    (c) Determinar a corrente total I entre as placas.
    (d) Determinar a resistência entre as placas.

Passo 2

Relações físicas fundamentais e ideias iniciais (mini-aula do que vamos usar):
  • Campo elétrico como gradiente do potencial:
\vec{E} = -\nabla V,
onde V(\rho,\varphi,z) é o potencial elétrico. Isso significa que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.
  • Lei de Ohm local (no contínuo):
\vec{J} = \sigma(\rho)\,\vec{E},
onde \vec{J} é a densidade de corrente (A/m ^2) e \sigma(\rho) é a condutividade local (S/m). Aqui \sigma depende de \rho.
  • Condição de regime estacionário (conservação de carga, corrente contínua sem acúmulo):
\nabla\cdot\vec{J} = 0.
Isto significa que em qualquer volume interior não há acúmulo de carga: a corrente que entra sai.
  • Coordenadas: pela geometria (placas circulares coaxiais) usamos coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z). A área de um anel de raio \rho e espessura \mathrm{d}\rho é \mathrm{d}A=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi.
Vou explorar simetrias: as placas são circulares e coaxiais e as condições de contorno não dependem de \varphi. Portanto não há dependência em \varphi. Resta pensar se o potencial pode depender de \rho. Vamos testar a hipótese mais simples (e física): supor V depende só de z, isto é V=V(z). Vou verificar a consistência dessa hipótese com \nabla\cdot\vec{J}=0.

Passo 3

Verificação da hipótese V=V(z) e dedução de uma equação para V:
  • Se V=V(z) então \vec{E} = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}\,\hat{z}. Note que neste caso \vec{E} tem só componente em z e depende apenas de z.
  • A condutividade é \sigma(\rho)=\sigma_0\,\rho. Assim a densidade de corrente será
\vec{J} = \sigma(\rho)\vec{E} = -\sigma_0\,\rho\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}\,\hat{z}.
  • Calcule a divergência em coordenadas cilíndricas (relembrando: para um campo que só tem componente z, \nabla\cdot\vec{J}=\dfrac{\partial J_z}{\partial z}+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho J_\rho). Aqui J_\rho=0, logo)
\nabla\cdot\vec{J} = \frac{\partial J_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(-\sigma_0\,\rho\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}\right).
  • Como \rho é uma coordenada independente de z, isso dá
\nabla\cdot\vec{J} = -\sigma_0\,\rho\,\frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}z^2}.
  • Impondo a condição de regime estacionário \nabla\cdot\vec{J}=0 obtemos
-\sigma_0\,\rho\,\frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}z^2}=0.
  • Para \rho\in(0,a] e \sigma_0\neq0 isso implica
\frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}z^2}=0.
Portanto a hipótese V=V(z) é consistente e leva à equação ordinária \dfrac{\mathrm{d}^2V}{\mathrm{d}z^2}=0, ou seja, V é linear em z.

Passo 4

Resolver para V(z) usando as condições de contorno:
  • A solução geral de \dfrac{\mathrm{d}^2V}{\mathrm{d}z^2}=0 é
V(z) = A z + B,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno:
V(0)=0 \quad\Rightarrow\quad B=0,
V(d)=V_0 \quad\Rightarrow\quad A d = V_0 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{V_0}{d}.
  • Logo o potencial entre as placas é
V(z)=\frac{V_0}{d}\,z.

Passo 5

Determinar o campo elétrico \vec{E} (resposta do item (a)) e explicar:
  • Usando \vec{E}=-\nabla V e que V depende só de z,
\vec{E} = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}\,\hat{z} = -\frac{V_0}{d}\,\hat{z}.
  • Interpretação: o campo é uniforme, apontando no sentido -\hat{z} (da placa de maior potencial para a de menor), e tem magnitude \dfrac{V_0}{d}.

Passo 6

Determinar a densidade de corrente \vec{J} (item (b)), com explicação do que cada símbolo significa:
  • Relação local de Ohm: \vec{J}=\sigma(\rho)\,\vec{E}.
  • Inserindo \sigma(\rho)=\sigma_0\,\rho e \vec{E}=-\dfrac{V_0}{d}\,\hat{z},
\vec{J}(\rho) = \sigma_0\,\rho\left(-\frac{V_0}{d}\,\hat{z}\right) = -\sigma_0\frac{V_0}{d}\,\rho\,\hat{z}.
  • Significado: \rho na fórmula é a coordenada radial (distância ao eixo), então a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância ao eixo. O sinal negativo indica que a corrente está fluindo no sentido -\hat{z} (da placa em z=d para z=0).

Passo 7

Calcular a corrente total I entre as placas (item (c)) passo a passo:
  • A corrente total que atravessa uma seção transversal (por exemplo, o plano z= constante entre as placas) é a integral da componente normal da densidade de corrente sobre a área da placa:
I = \iint_{S} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{A}.
  • Tomamos S como o disco de raio a em um plano z= constante; nesse caso \mathrm{d}\vec{A} = \hat{z}\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi. Como \vec{J}=J_z(\rho)\,\hat{z} temos
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} J_z(\rho)\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi.
  • Inserindo J_z(\rho) = -\sigma_0\frac{V_0}{d}\,\rho,
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \left(-\sigma_0\frac{V_0}{d}\,\rho\right)\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi = -\sigma_0\frac{V_0}{d}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{a}\rho^2\,\mathrm{d}\rho.
  • Calcule as integrais:
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi = 2\pi,\qquad \int_{0}^{a}\rho^2\,\mathrm{d}\rho = \frac{a^3}{3}.
  • Assim
I = -\sigma_0\frac{V_0}{d}\,2\pi\,\frac{a^3}{3} = -\frac{2\pi\sigma_0 a^3}{3d}\,V_0.
  • O sinal negativo indica sentido de fluxo para -\hat{z}. A magnitude da corrente é
|I| = \frac{2\pi\sigma_0 a^3}{3d}\,V_0.

Passo 8

Determinar a resistência entre as placas (item (d)) e explicar a fórmula usada:
  • A resistência efetiva entre as placas é a razão entre a diferença de potencial aplicada e a corrente total (lei de Ohm macroscópica):
R = \frac{V_0}{|I|}.
  • Usando o valor de |I| do passo anterior,
R = \frac{V_0}{\dfrac{2\pi\sigma_0 a^3}{3d}\,V_0} = \frac{3d}{2\pi\sigma_0 a^3}.
  • Observação de unidades: \sigma_0 tem unidades tais que \sigma_0\rho é condutividade (S/m); a expressão dá resistência com unidades de ohms (Ω).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}=-\frac{V_0}{d}\,\hat{z}.\n
(b) \displaystyle \vec{J}(\rho)=-\sigma_0\frac{V_0}{d}\,\rho\,\hat{z}.\n
(c) \displaystyle I=-\frac{2\pi\sigma_0 a^3}{3d}\,V_0 (magnitude \displaystyle |I|=\frac{2\pi\sigma_0 a^3}{3d}\,V_0).\n
(d) \displaystyle R=\frac{3d}{2\pi\sigma_0 a^3}.

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