Um disco fino de massa M e raio R fica no plano (x, y) com o eixo z passando por seu centro. Calcule o potencial gravitacional Phi(z) e o campo gravitacional g(z)=-nabla Phi(z)=-k d Phi(z) / d z no eixo z.
(para z diferente de zero)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco fininho com massa $ M $ e raio $ R $ colocado no plano $ (x, y) $. O eixo $ z $ passa pelo centro desse disco. A gente precisa calcular o potencial gravitacional $ \Phi(z) $ e o campo gravitacional $ \mathbf{g}(z) $ ao longo do eixo $ z $, mas só para valores de $ z $ diferentes de zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação, especialmente a fórmula do potencial gravitacional para distribuições de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial gravitacional $ \Phi $ criado por uma massa é dado por:
Phi
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ dm $ é um elemento de massa, e $ r $ é a distância desse elemento até o ponto onde estamos calculando o potencial. No nosso caso, queremos calcular isso ao longo do eixo $ z $, ou seja, estamos interessados na contribuição de cada parte do disco para pontos acima ou abaixo do disco nesse eixo.

Passo 3

Para facilitar, vamos considerar o disco como uma coleção de anéis concêntricos com raio $ s $ e espessura $ ds $. A massa de cada anel $ dm $ pode ser expressa em termos da densidade superficial $ \sigma $:
s
A distância $ r $ de um ponto em um anel até o ponto no eixo $ z $ é:
ds

Passo 4

Agora, vamos expressar o potencial gravitacional $ \Phi(z) $ como a soma (integração) dos potenciais de todos os anéis:
Phi(z)
Substituindo $ \sigma $:
Phi(z) = -G integral0^R dmraizz^2 + s^2 = -G integral0^R sigma cdot 2pi s , dsraizz^2 + s^2

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral s , dsraizz^2 + s^2 = raizz^2 + s^2 - z^2 ln( s + raizz^2 + s^2 ) + C
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ R $:
0
Simplificando, considerando $ z \neq 0 $:
R

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão do potencial:
Phi(z) = -2GMR^2 ( raizz^2 + R^2 - |z| - z^2 ln( R + raizz^2 + R^2|z| ) )

Passo 7

Para encontrar o campo gravitacional $ \mathbf{g}(z) $, usamos a relação:
g(z)
Vamos derivar $ \Phi(z) $ em relação a $ z $:
g(z) = -nabla Phi(z) = -k dPhi(z)dz
Simplificando a expressão:
Phi(z)

Resposta

O potencial gravitacional ao longo do eixo $ z $ é dado por:
z
E o campo gravitacional correspondente é:
Phi(z) = -2GMR^2 ( raizz^2 + R^2 - |z| - z^2 ln( R + raizz^2 + R^2|z| ) )

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