Um disco fino de massa
e raio
fica no plano
com o eixo
passando por seu centro. Calcule o potencial gravitacional
e o campo gravitacional
no eixo
.
(para z diferente de zero)
(para z diferente de zero)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco fininho com massa $ M $ e raio $ R $ colocado no plano $ (x, y) $. O eixo $ z $ passa pelo centro desse disco. A gente precisa calcular o potencial gravitacional $ \Phi(z) $ e o campo gravitacional $ \mathbf{g}(z) $ ao longo do eixo $ z $, mas só para valores de $ z $ diferentes de zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação, especialmente a fórmula do potencial gravitacional para distribuições de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial gravitacional $ \Phi $ criado por uma massa é dado por:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ dm $ é um elemento de massa, e $ r $ é a distância desse elemento até o ponto onde estamos calculando o potencial. No nosso caso, queremos calcular isso ao longo do eixo $ z $, ou seja, estamos interessados na contribuição de cada parte do disco para pontos acima ou abaixo do disco nesse eixo.
Passo 3
Para facilitar, vamos considerar o disco como uma coleção de anéis concêntricos com raio $ s $ e espessura $ ds $. A massa de cada anel $ dm $ pode ser expressa em termos da densidade superficial $ \sigma $:
A distância $ r $ de um ponto em um anel até o ponto no eixo $ z $ é:
Passo 4
Agora, vamos expressar o potencial gravitacional $ \Phi(z) $ como a soma (integração) dos potenciais de todos os anéis:
Substituindo $ \sigma $:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ R $:
Simplificando, considerando $ z \neq 0 $:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão do potencial:
Passo 7
Para encontrar o campo gravitacional $ \mathbf{g}(z) $, usamos a relação:
Vamos derivar $ \Phi(z) $ em relação a $ z $:
Simplificando a expressão:
Resposta
O potencial gravitacional ao longo do eixo $ z $ é dado por:
E o campo gravitacional correspondente é: