Uma das técnicas econômicas de colocar um satélite de massa
em órbita circular de raio
, em relação ao centro da Terra, é colocá-lo primeiro em uma órbita elíptica intermediária cujo perigeu (distância de maior aproximação em relação ao centro da Terra) é igual a
e apogeu (distância de maior afastamento em relação ao centro da Terra) é igual a
. Uma vez nessa órbita elíptica, liga-se o motor por um intervalo de tempo muito curto no apogeu de forma que o satélite adquira uma velocidade adicional
paralela à velocidade orbital nesse ponto.
a) Determine os parâmetros da elipse em termos de
e
.
b) Determine o momento angular e a energia mecânica total do Satélite em termos de
,
, constante de gravitação
e massa da Terra
.
c) Determine
para que o satélite passe a ter uma órbita circular de raio
.
a) Determine os parâmetros da elipse em termos de
b) Determine o momento angular e a energia mecânica total do Satélite em termos de
c) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente quer transferir um satélite da Terra de uma órbita circular de raio
para outra de raio
usando uma elipse intermediária com perigeu
e apogeu
. Isso é uma aplicação de mecânica orbital / leis de Newton (gravitação universal) e geometria de elipses. Para resolver, vamos precisar de:
- Geometria de elipse: semieixo maior
, semieixo menor e excentricidade . - Conservação de momento angular e energia num campo gravitacional (vis-viva).
- Cálculo de
comparando velocidades em órbita elíptica e circular.
Passo 2
Parte (a): parâmetros da elipse em função de
e
.
- Semieixo maior
: por definição de perigeu e apogeu ,
- Excentricidade
: mede “o quanto” a elipse é achatada,
- Semieixo menor
: lembra que . Se você substituir e dá
Pronto, temos
,
e
em termos de
.
Passo 3
Parte (b): momento angular
e energia mecânica total
.
- Momento angular: em órbita central o momento angular específico (por unidade de massa) é
então o momento angular total é
- Energia mecânica total: é a soma da cinética e potencial, mas pra qualquer elipse vale
pois
.
Passo 4
Parte ©:
no apogeu pra deixar a órbita circular de raio
.
- Velocidade no apogeu da elipse (vis-viva):
- Velocidade circular em
:
- A rajada precisa adicionar
, ou seja
Resposta
a)
b)
c)