Uma das técnicas econômicas de colocar um satélite de massa m em órbita circular de raio r2, em relação ao centro da Terra, é colocá-lo primeiro em uma órbita elíptica intermediária cujo perigeu (distância de maior aproximação em relação ao centro da Terra) é igual a r1 e apogeu (distância de maior afastamento em relação ao centro da Terra) é igual a r2. Uma vez nessa órbita elíptica, liga-se o motor por um intervalo de tempo muito curto no apogeu de forma que o satélite adquira uma velocidade adicional De paralela à velocidade orbital nesse ponto.
a) Determine os parâmetros da elipse em termos de r1 e r2.
b) Determine o momento angular e a energia mecânica total do Satélite em termos de r1, r2, m, constante de gravitação G e massa da Terra M.
c) Determine De para que o satélite passe a ter uma órbita circular de raio r2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente quer transferir um satélite da Terra de uma órbita circular de raio para outra de raio usando uma elipse intermediária com perigeu e apogeu . Isso é uma aplicação de mecânica orbital / leis de Newton (gravitação universal) e geometria de elipses. Para resolver, vamos precisar de:
  • Geometria de elipse: semieixo maior , semieixo menor e excentricidade .
  • Conservação de momento angular e energia num campo gravitacional (vis-viva).
  • Cálculo de comparando velocidades em órbita elíptica e circular.

Passo 2

Parte (a): parâmetros da elipse em função de a ;=;rp + ra2;=;r1 + r22, e e ;=;ra - rpra + rp;=;r2 - r1r2 + r1, .
  1. Semieixo maior b ;=;raiz,r1,r2,, : por definição de perigeu e apogeu ,
  1. Excentricidade : mede “o quanto” a elipse é achatada,
  1. Semieixo menor : lembra que . Se você substituir e
Pronto, temos , e em termos de .

Passo 3

Parte (b): momento angular h ;=;raizGM,a,(1 - e^2);=;raizGM,r1,r2,, e energia mecânica total L ;=;m,h;=;m,raizGM,r1,r2, .
  1. Momento angular: em órbita central o momento angular específico (por unidade de massa) é
E ;=;-,GM,m2,a;=;-,GM,m,r1 + r2,,,
então o momento angular total é
  1. Energia mecânica total: é a soma da cinética e potencial, mas pra qualquer elipse vale
pois .

Passo 4

Parte ©: ve ;=;raiz,GMl(tfrac2r2-tfrac1ar), ;=;raiz,GMl(tfrac2r2-tfrac2r1+r2r), ;=;raiz2,GM,r1,r2,(r1+r2),, no apogeu pra deixar a órbita circular de raio vc ;=;raizGMr2, .
  1. Velocidade no apogeu da elipse (vis-viva):
De
  1. Velocidade circular em :
  1. A rajada precisa adicionar , ou seja

Resposta

a)
a=r1+r22, e=r2-r1r2+r1, b=raizr1,r2
b)
L=mraizGM,r1,r2, E=-GM,mr1+r2
c)
De

Exercícios relacionados