Um disco gira em torno do seu eixo central como um carrossel. A posição angular de uma reta de referência do disco é dada por \theta(t)=7,00-1,750 t+0,500 t^{2}, com t em segundos, \theta em radianos.
Qual a velocidade angular do disco no tempo -2,4 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição angular do disco
\theta(t)=7,00-1,750\,t+0,500\,t^{2},
com t em segundos e \theta em radianos. A pergunta é: qual a velocidade angular do disco no tempo t=-2,4\\ \text{s}? Ou seja, pedir \omega(-2,4\\ \text{s}).

Passo 2

O que é velocidade angular? A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Matemática e operacionalmente isso significa derivar \theta(t) em relação a t. Escrevendo isso:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Uma regra muito útil para derivar polinômios é a regra do poder: se uma função tem um termo da forma a\,t^{n}, sua derivada é
\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{n}\bigr)=n\,a\,t^{\,n-1},
onde a é constante e n é um número inteiro positivo. Exemplos simples: \dfrac{d}{dt}(3t)=3 e \dfrac{d}{dt}(0,5t^{2})=2\cdot0,5\,t=1,0\,t.

Passo 3

Aplicando a derivada termo a termo em \theta(t)=7,00-1,750\,t+0,500\,t^{2}:
  • A derivada de 7,00 (constante) é 0.
  • A derivada de -1,750\,t é -1,750 (pela regra do poder com n=1).
  • A derivada de 0,500\,t^{2} é 2\cdot0,500\,t=1,000\,t.
Assim,
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=-1,750+1,000\,t.

Passo 4

Agora substituímos o tempo pedido t=-2,4\\ \text{s} na expressão de \omega(t). Fazendo a conta passo a passo:
\omega(-2,4)= -1,750 + 1,000\cdot(-2,4).
Calcule o produto:
1,000\cdot(-2,4) = -2,400.
Então
\omega(-2,4)= -1,750 - 2,400 = -4,150.
A unidade é radianos por segundo.

Passo 5

Interpretação rápida: o valor negativo de \omega indica que a reta de referência está girando no sentido considerado negativo (oposto ao sentido positivo adotado para \theta). O módulo |\omega| diz a rapidez da rotação; aqui é 4,150\\ \text{rad/s}.

Resposta

\omega(-2,4\\ \text{s})=-4,150\\ \text{rad/s}

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