Três pessoas percorrem um corredor onde também existe uma esteira rolante. P1, que caminha pelo corredor sem utilizar a esteira rolante, demora 150 s para percorrê-lo; P2, que simplesmente fica de pé na esteira, percorre a mesma distância em 70 s ; P3 não somente usa a esteira, mas também caminha sobre ela. Quanto tempo gasta P3? (Suponha que P1 e P3 caminhem com a mesma velocidade.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • O corredor tem comprimento desconhecido; chamo esse comprimento de L.
  • P1 caminha pelo corredor (no piso, sem a esteira) e demora 150\\ \text{s} para percorrer toda a distância L.
  • P2 fica de pé sobre a esteira (não caminha sobre ela) e leva 70\\ \text{s} para percorrer a mesma distância L.
  • P3 anda sobre a esteira e também caminha; o enunciado diz para supor que P1 e P3 caminhem com a mesma velocidade (mesma velocidade de caminhada relativa ao piso/à esteira).
  • O que o problema pede: determinar quanto tempo P3 gasta para percorrer a distância L.

Passo 2

Definir variáveis simples e interpretar fisicamente o que cada uma representa (isso ajuda a montar as equações).
  • Seja L o comprimento do corredor (distância a ser percorrida).
  • Seja v a velocidade de caminhada da pessoa quando caminha em relação ao piso ou, de modo equivalente aqui, a velocidade de caminhada relativa à esteira (o enunciado diz que P1 e P3 têm a mesma velocidade de caminhada, então usamos a mesma v para os dois).
    • Interpretação: quando alguém caminha em relação à superfície sobre a qual está (piso ou esteira), essa pessoa “por si só” avança com velocidade v em relação à superfície.
  • Seja u a velocidade da esteira em relação ao chão (ou seja, a velocidade com que a esteira transporta alguém que esteja apenas em pé sobre ela).
    • Interpretação: se uma pessoa fica parada sobre a esteira, sua velocidade em relação ao chão é u.

Passo 3

Encontrar relações entre L, v e u usando os dados de P1 e P2.
  • P1 caminha sobre o piso e leva 150\\ \text{s} para percorrer L. Isso dá:
v=\frac{L}{150}.
Explicação: velocidade é razão entre distância e tempo; aqui a pessoa caminha com velocidade v e percorre L em 150\\ \text{s}.
  • P2 fica parado sobre a esteira e leva 70\\ \text{s} para percorrer L. Como P2 não caminha, sua velocidade em relação ao chão é apenas a velocidade da esteira u. Assim:
u=\frac{L}{70}.

Passo 4

Entender a velocidade efetiva de P3 em relação ao chão quando ele caminha sobre a esteira.
  • Quando alguém caminha sobre uma esteira que se move na mesma direção, a velocidade dessa pessoa em relação ao chão é a soma da velocidade de caminhada relativa à esteira ( v) mais a velocidade da esteira ( u). Em símbolos:
v_{\text{P3, chão}} = v + u.ã
Explicação didática: pense assim — na esteira a pessoa “empurra” a esteira com seus passos, produzindo uma velocidade relativa v entre a pessoa e a superfície da esteira; como a superfície da esteira já está se movendo em relação ao chão com velocidade u, as duas contribuições somam para dar a velocidade total da pessoa em relação ao chão.

Passo 5

Escrever a expressão do tempo que P3 leva em função de v e u, e substituir as relações obtidas.
  • O tempo que P3 gasta para percorrer L é
t_3=\frac{L}{v+u}.
  • Substituindo v=\dfrac{L}{150} e u=\dfrac{L}{70} na expressão:
t_3 = \frac{L}{\dfrac{L}{150}+\dfrac{L}{70}}.
  • Observação prática: L aparece em todos os termos e vai se cancelar — isso é esperado: o tempo relativo não depende do valor absoluto de L, apenas das velocidades relativas.

Passo 6

Fazer as simplificações algébricas passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro, fatorar L no denominador:
t_3 = \frac{L}{L\!\left(\dfrac{1}{150}+\dfrac{1}{70}\right)}.
  • Cancelar L:
t_3 = \frac{1}{\dfrac{1}{150}+\dfrac{1}{70}}.
  • Somar as frações no denominador. Para somar \dfrac{1}{150} e \dfrac{1}{70}, usar denominador comum 150\cdot70=10500:
\dfrac{1}{150}+\dfrac{1}{70}=\dfrac{70}{10500}+\dfrac{150}{10500}=\dfrac{220}{10500}.
  • Portanto
t_3=\frac{1}{\dfrac{220}{10500}}=\frac{10500}{220}.
  • Simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 10:
t_3=\frac{1050}{22}.
  • Dividir por 2 para simplificar mais:
t_3=\frac{525}{11}.

Passo 7

Interpretar o resultado em forma decimal para ter uma ideia prática do tempo.
  • Calculando a divisão \dfrac{525}{11}:
t_3=\dfrac{525}{11}\\ \text{s}\approx47{,}727272\ldots\\ \text{s}.
  • Arredondando de modo razoável, obtemos t_3\approx47{,}73\\ \text{s}.

Resposta

\displaystyle t_3=\dfrac{525}{11}\\ \text{s}\approx47{,}73\\ \text{s}

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