Um disco girava no plano horizontal, sem atrito, com velocidade angular de
radianos por segundo, com uma pessoa de pé na posição de metade do raio do disco. O disco tem raio de
e massa de 250 kg . A pessoa tem massa de
. Calcular a velocidade angular (final) do disco e comparar com a velocidade angular inicial, em cada um dos casos seguintes:
A pessoa caminha na direção radial a partir da borda do disco até uma posição de 1/3 do raio.
A pessoa caminha na direção radial a partir da borda do disco até uma posição de 1/3 do raio.
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede, com os números explícitos.
O enunciado do caso diz: “A pessoa caminha na direção radial a partir da borda do disco até uma posição de
do raio.” Portanto, para este caso eu tomo
O que pedimos: calcular a velocidade angular final
do sistema (disco + pessoa) e comparar
com
.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar: conservação do momento angular. Explicação didática:
Quando não há torque externo resultante atuando sobre um sistema, o momento angular total do sistema é conservado. O momento angular de um corpo que gira em torno de um eixo é
Quando não há torque externo resultante atuando sobre um sistema, o momento angular total
onde
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo e
é a velocidade angular. Aqui o sistema é “disco + pessoa” e não há atrito externo (enunciado diz sem atrito), logo
Explicando cada símbolo:
é o momento de inércia total inicial (disco + pessoa na posição inicial),
é o momento de inércia total final (disco + pessoa na nova posição),
e
são velocidades angulares antes e depois do deslocamento radial.
Passo 3
Momento de inércia do disco: para um disco fino e homogêneo girando em torno do seu eixo central temos a fórmula (ensino rápido):
Aqui
é a massa do disco e
é o seu raio. Substituindo os números:
Passo 4
Momento de inércia da pessoa: como a pessoa é bem menor que o disco, aproximamos a pessoa por uma massa pontual
localizada a uma distância radial
do eixo. O momento de inércia de uma massa pontual é
onde
é a massa da pessoa e
é a distância ao eixo. Calcular o momento de inércia inicial da pessoa (na borda,
):
Passo 5
Momento de inércia total inicial e momento angular inicial:
O momento angular inicial é
(Guardo
simbólico; na prática usarei a relação de conservação para achar
.)
Passo 6
Calcular o momento de inércia final da pessoa, quando ela está em
:
Momento de inércia total final:
Passo 7
Aplicar conservação do momento angular e resolver para
:
Substituindo os valores numéricos:
Podemos simplificar a fração dividindo por
:
Logo uma expressão exata é
Agora o valor numérico (aproximação):
Comparação com a velocidade inicial:
portanto
é maior. A variação percentual é
ou seja um aumento de aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação física e dica de prova (rápida e amiga): a pessoa ao caminhar para mais perto do eixo reduz o momento de inércia total do sistema; como não há torque externo, o produto
tem que permanecer o mesmo, então
aumenta. Na prova, em problemas assim lembre-se: disco usa
, pessoa como massa pontual usa
; monte
e
e resolva
. Isso evita detalhes desnecessários e é rápido de calcular sem calculadora se você mantiver frações.