Um disco girava no plano horizontal, sem atrito, com velocidade angular de boldsymbol{\pi} / 4 radianos por segundo, com uma pessoa de pé na posição de metade do raio do disco. O disco tem raio de 3,00 \mathrm{~m} e massa de 250 kg . A pessoa tem massa de 80,0 \mathrm{~kg}. Calcular a velocidade angular (final) do disco e comparar com a velocidade angular inicial, em cada um dos casos seguintes:
A pessoa caminha na direção radial a partir da borda do disco até uma posição de 1/3 do raio.

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede, com os números explícitos.
R=3{,}00\\ \text{m},\quad M=250\\ \text{kg},\quad m=80{,}0\\ \text{kg},\quad \omega_i=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad/s}.
O enunciado do caso diz: “A pessoa caminha na direção radial a partir da borda do disco até uma posição de 1/3 do raio.” Portanto, para este caso eu tomo
r_i=R=3{,}00\\ \text{m},\qquad r_f=\frac{R}{3}=1{,}00\\ \text{m}.
O que pedimos: calcular a velocidade angular final \omega_f do sistema (disco + pessoa) e comparar \omega_f com \omega_i.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: conservação do momento angular. Explicação didática:
Quando não há torque externo resultante atuando sobre um sistema, o momento angular total L do sistema é conservado. O momento angular de um corpo que gira em torno de um eixo é
L=I\omega,
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo e \omega é a velocidade angular. Aqui o sistema é “disco + pessoa” e não há atrito externo (enunciado diz sem atrito), logo
L_i = L_f \quad\Rightarrow\quad I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f.
Explicando cada símbolo: I_i é o momento de inércia total inicial (disco + pessoa na posição inicial), I_f é o momento de inércia total final (disco + pessoa na nova posição), \omega_i e \omega_f são velocidades angulares antes e depois do deslocamento radial.

Passo 3

Momento de inércia do disco: para um disco fino e homogêneo girando em torno do seu eixo central temos a fórmula (ensino rápido):
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}MR^2.
Aqui M é a massa do disco e R é o seu raio. Substituindo os números:
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}\cdot 250\\ \text{kg}\cdot (3{,}00\\ \text{m})^2
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}\cdot 250\cdot 9 =125\cdot 9 =1125\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 4

Momento de inércia da pessoa: como a pessoa é bem menor que o disco, aproximamos a pessoa por uma massa pontual m localizada a uma distância radial r do eixo. O momento de inércia de uma massa pontual é
I_{\text{pessoa}}=m r^2,
onde m é a massa da pessoa e r é a distância ao eixo. Calcular o momento de inércia inicial da pessoa (na borda, r_i=3{,}00\\ \text{m}):
I_{\text{pessoa},i}=80{,}0\\ \text{kg}\cdot (3{,}00\\ \text{m})^2=80\cdot 9 =720\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 5

Momento de inércia total inicial e momento angular inicial:
I_i = I_{\text{disco}} + I_{\text{pessoa},i} = 1125 + 720 = 1845\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
O momento angular inicial é
L_i = I_i\,\omega_i = 1845\cdot\frac{\pi}{4}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}.
(Guardo L_i simbólico; na prática usarei a relação de conservação para achar \omega_f.)

Passo 6

Calcular o momento de inércia final da pessoa, quando ela está em r_f=R/3=1{,}00\\ \text{m}:
I_{\text{pessoa},f}=80{,}0\\ \text{kg}\cdot (1{,}00\\ \text{m})^2 = 80\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
Momento de inércia total final:
I_f = I_{\text{disco}} + I_{\text{pessoa},f} = 1125 + 80 = 1205\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 7

Aplicar conservação do momento angular e resolver para \omega_f:
I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f \quad\Rightarrow\quad \omega_f = \omega_i\frac{I_i}{I_f}.
Substituindo os valores numéricos:
\omega_f = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{1845}{1205}.
Podemos simplificar a fração dividindo por 5:
\frac{1845}{1205}=\frac{369}{241}.
Logo uma expressão exata é
\omega_f = \frac{369\pi}{964}\\ \text{rad/s}.
Agora o valor numérico (aproximação):
\omega_f \approx \frac{\pi}{4}\cdot 1{,}53112\approx 1{,}202\\ \text{rad/s}.
Comparação com a velocidade inicial:
\omega_i=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}7854\\ \text{rad/s},
portanto \omega_f é maior. A variação percentual é
\frac{\omega_f-\omega_i}{\omega_i}=\frac{I_i}{I_f}-1=\frac{1845}{1205}-1=\frac{640}{1205}\approx 0{,}53112,
ou seja um aumento de aproximadamente 53{,}1\%.

Passo 8

Interpretação física e dica de prova (rápida e amiga): a pessoa ao caminhar para mais perto do eixo reduz o momento de inércia total do sistema; como não há torque externo, o produto I\omega tem que permanecer o mesmo, então \omega aumenta. Na prova, em problemas assim lembre-se: disco usa I=\tfrac12MR^2, pessoa como massa pontual usa I=mr^2; monte I_i e I_f e resolva \omega_f=\omega_i(I_i/I_f). Isso evita detalhes desnecessários e é rápido de calcular sem calculadora se você mantiver frações.

Resposta

\omega_f=\dfrac{369\pi}{964}\\ \text{rad/s}\approx 1{,}202\\ \text{rad/s}.
\omega_f é aproximadamente 53{,}1\% maior que \omega_i=\dfrac{\pi}{4}\\ \text{rad/s}\\ (\approx 0{,}7854\\ \text{rad/s}).

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