Um disco girava no plano horizontal, sem atrito, com velocidade angular de
radianos por segundo, com uma pessoa de pé na posição de metade do raio do disco. O disco tem raio de
e massa de 250 kg . A pessoa tem massa de
. Calcular a velocidade angular (final) do disco e comparar com a velocidade angular inicial, em cada um dos casos seguintes:
A pessoa caminha na direção radial a partir de uma posição de metade do raio até a borda do disco.
A pessoa caminha na direção radial a partir de uma posição de metade do raio até a borda do disco.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a velocidade angular final do sistema disco + pessoa quando a pessoa caminha radialmente da posição metade do raio até a borda. Dados fornecidos:
a pessoa parte de
e vai até
. O disco é horizontal e sem atrito (logo, desprezamos torques externos). A tarefa é achar
e comparar com
.
Passo 2
Princípio físico que usamos: conservação do momento angular do sistema quando não há torque externo. Definição básica:
onde
é o momento angular,
o momento de inércia total em relação ao eixo, e
a velocidade angular. Como não há torque externo,
Aqui
do sistema é a soma do momento de inércia do disco e da pessoa. Aproximamos a pessoa como massa pontual localizada a uma distância
do eixo, cujo momento de inércia é
. Isso é aceitável porque para efeito rotacional a distribuição vertical do corpo é pequena comparada a
.
Passo 3
Momento de inércia do disco (disco sólido, eixo central):
Calculemos:
Passo 4
Momento de inércia da pessoa na posição inicial
:
Momento de inércia total inicial:
Passo 5
Escrevendo o momento angular inicial:
(Guardamos isso para igualar ao momento angular final.)
Passo 6
Momento de inércia da pessoa na posição final
:
Momento de inércia total final:
Passo 7
Usando conservação do momento angular:
Substituindo os valores:
Simplificando a fração
: divide-se por
obtendo
, e dividindo por
obtém-se
. Portanto
Passo 8
Cálculo numérico e comparação:
Logo
A razão entre final e inicial é
ou seja, a velocidade angular final é cerca de
da inicial — uma redução de aproximadamente
. Interpretação física: ao caminhar para fora, a pessoa aumenta o momento de inércia do sistema, então, para conservar o momento angular, a velocidade angular diminui.