Um disco girava no plano horizontal, sem atrito, com velocidade angular de boldsymbol{\pi} / 4 radianos por segundo, com uma pessoa de pé na posição de metade do raio do disco. O disco tem raio de 3,00 \mathrm{~m} e massa de 250 kg . A pessoa tem massa de 80,0 \mathrm{~kg}. Calcular a velocidade angular (final) do disco e comparar com a velocidade angular inicial, em cada um dos casos seguintes:
A pessoa caminha na direção radial a partir de uma posição de metade do raio até a borda do disco.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade angular final do sistema disco + pessoa quando a pessoa caminha radialmente da posição metade do raio até a borda. Dados fornecidos:
\omega_i=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad/s},\qquad R=3{,}00\\ \text{m},
M_{\text{disco}}=250\\ \text{kg},\qquad m_{\text{pessoa}}=80{,}0\\ \text{kg},
a pessoa parte de r_i=\dfrac{R}{2}=1{,}50\\ \text{m} e vai até r_f=R=3{,}00\\ \text{m}. O disco é horizontal e sem atrito (logo, desprezamos torques externos). A tarefa é achar \omega_f e comparar com \omega_i.

Passo 2

Princípio físico que usamos: conservação do momento angular do sistema quando não há torque externo. Definição básica:
L=I\omega,
onde L é o momento angular, I o momento de inércia total em relação ao eixo, e \omega a velocidade angular. Como não há torque externo,
L_i = L_f \quad\Rightarrow\quad I_i\omega_i = I_f\omega_f.
Aqui I do sistema é a soma do momento de inércia do disco e da pessoa. Aproximamos a pessoa como massa pontual localizada a uma distância r do eixo, cujo momento de inércia é I_{\text{pessoa}}=m r^{2}. Isso é aceitável porque para efeito rotacional a distribuição vertical do corpo é pequena comparada a R.

Passo 3

Momento de inércia do disco (disco sólido, eixo central):
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M_{\text{disco}}R^{2}.
Calculemos:
R^{2}=(3{,}00)^{2}=9{,}00\\ \text{m}^{2},
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}\cdot250\cdot9{,}00=125\cdot9{,}00=1125\\ \text{kg·m}^{2}.

Passo 4

Momento de inércia da pessoa na posição inicial r_i:
r_i=\frac{R}{2}=1{,}50\\ \text{m},\qquad r_i^{2}=2{,}25\\ \text{m}^{2},
I_{\text{pessoa},i}=m_{\text{pessoa}}\,r_i^{2}=80{,}0\cdot2{,}25=180\\ \text{kg·m}^{2}.
Momento de inércia total inicial:
I_i=I_{\text{disco}}+I_{\text{pessoa},i}=1125+180=1305\\ \text{kg·m}^{2}.

Passo 5

Escrevendo o momento angular inicial:
L_i=I_i\omega_i=1305\cdot\frac{\pi}{4}\\ \text{kg·m}^{2}/\text{s}.
(Guardamos isso para igualar ao momento angular final.)

Passo 6

Momento de inércia da pessoa na posição final r_f=R:
r_f^{2}=R^{2}=9{,}00\\ \text{m}^{2},
I_{\text{pessoa},f}=m_{\text{pessoa}}\,r_f^{2}=80{,}0\cdot9{,}00=720\\ \text{kg·m}^{2}.
Momento de inércia total final:
I_f=I_{\text{disco}}+I_{\text{pessoa},f}=1125+720=1845\\ \text{kg·m}^{2}.

Passo 7

Usando conservação do momento angular:
I_i\omega_i=I_f\omega_f \quad\Rightarrow\quad \omega_f=\omega_i\frac{I_i}{I_f}.
Substituindo os valores:
\omega_f=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1305}{1845}.
Simplificando a fração \dfrac{1305}{1845}: divide-se por 15 obtendo \dfrac{87}{123}, e dividindo por 3 obtém-se \dfrac{29}{41}. Portanto
\omega_f=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{29}{41}.

Passo 8

Cálculo numérico e comparação:
\omega_i=\frac{\pi}{4}\approx0{,}785398\\ \text{rad/s},
\frac{29}{41}\approx0{,}707317.
Logo
\omega_f\approx0{,}785398\cdot0{,}707317\approx0{,}555\\ \text{rad/s}.
A razão entre final e inicial é
\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{29}{41}\approx0{,}7073,
ou seja, a velocidade angular final é cerca de 70{,}7\% da inicial — uma redução de aproximadamente 29{,}3\%. Interpretação física: ao caminhar para fora, a pessoa aumenta o momento de inércia do sistema, então, para conservar o momento angular, a velocidade angular diminui.

Resposta

\displaystyle \omega_f=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{29}{41}\approx0{,}555\\ \mathrm{rad/s}. \displaystyle \omega_f/\omega_i=\frac{29}{41}\approx0{,}7073 (redução de \approx29{,}3\%).

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