Um pêndulo simples é composto por um fio de massa desprezível com uma massa pontual presa na extremidade do fio e suspensa. Considere que a massa pontual é
e o comprimento do fio é
. A massa é deslocada até uma posição que o fio forma um ângulo de
em relação à vertical e abandonada a partir do repouso.
A) Determinar o torque sobre o pêndulo e a aceleração angular da massa ao ser abandonada.
B) Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através da conservação da energia.
A) Determinar o torque sobre o pêndulo e a aceleração angular da massa ao ser abandonada.
B) Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através da conservação da energia.
Passo 1
Dados do enunciado e o que pedem:
- Massa da partícula:
. - Comprimento do fio:
. - Posição inicial: fio formando ângulo
em relação à vertical. - Condição inicial: abandonada a partir do repouso (velocidade inicial angular nula).
- Valor da aceleração da gravidade que usarei:
.
Perguntas:
A) Determinar o torque sobre o pêndulo no instante em que é abandonado e a aceleração angular da massa nesse instante.
B) Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, usando conservação de energia.
Passo 2
O que é torque e como calcular aqui (aula curta e concreta).
- Torque (
) é a tendência de uma força em causar rotação; para uma força aplicada a um ponto que está a um vetor posição do eixo, o torque é . O módulo pode ser pensado como , ou seja, a distância multiplicada pela componente da força perpendicular ao braço.
- No pêndulo a força que causa torque é o peso
aplicado na massa, com módulo . A componente do peso perpendicular ao fio (que produz torque em relação ao ponto de suspensão) tem magnitude quando o fio faz ângulo com a vertical.
- Assim o módulo do torque em relação ao ponto de suspensão é
Aqui
é a massa,
a aceleração da gravidade,
o comprimento do fio e
o ângulo medido a partir da vertical. O sinal (positivo/negativo) depende da convenção de sentido: ao abandonar em
a torque é restaurador (tende a diminuir
), portanto é usual escrever
se tomarmos
no sentido escolhido.
Passo 3
Cálculo numérico do torque no instante inicial (
).
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Multiplicando por
:
Agora a componente
. Sabemos que
. Então
Interpretando o sinal: como o torque tende a reduzir
(restaurador), escrevemos o torque vetorial como
se tomarmos
positivo no sentido inicial. Se pedirem apenas magnitude, é
.
Passo 4
O que é momento de inércia e valor para este pêndulo (aula curta).
- O momento de inércia
mede a resistência de um corpo a alterar sua rotação; para uma massa pontual a uma distância do eixo, .
- No nosso pêndulo a massa está a distância
do ponto de suspensão, logo
Cálculo numérico:
Passo 5
Relacionando torque e aceleração angular (lei rotacional: aula + aplicação).
- Análogo rotacional de
é , onde é a aceleração angular (segundo derivada angular).
- Portanto
Substituindo a expressão do torque para o pêndulo:
Note que aqui cancelou a massa
(por isso a aceleração angular instantânea não depende de
para pêndulo ideal) e restou dependência de
,
e
.
Passo 6
Cálculo numérico da aceleração angular ao ser abandonado (
).
Calcule :
Calcule
Multiplicando por
:
O sinal negativo indica que a aceleração angular tem sentido de reduzir
(ou seja, em direção à posição vertical).
Passo 7
Conservação de energia para obter a velocidade angular na posição vertical (aula + derivação).
- Princípio: em ausência de atrito e resistência do ar, a variação da energia potencial gravitacional vira energia cinética rotacional.
- A variação da energia potencial ao descer de ângulo
até a vertical ( ) é igual à energia cinética rotacional na vertical:
onde
é a velocidade angular ao passar pela vertical.
- Altura vertical que a massa desceu ao ir de
até : se a massa está em um círculo de raio , a coordenada vertical relativa ao ponto mais baixo é . A descida é
Portanto a perda de energia potencial é
- Igualando:
Como
, simplifica-se
, obtendo a expressão direta para
:
Passo 8
Cálculo numérico de
para
.
Primeiro . Então
.
Substituindo:
Primeiro
Substituindo:
Também podemos verificar via números já calculados:
. Como
,
mesmo resultado.
Resposta
A)
(torque restaurador, magnitude
);
.\nB)
.