Um pêndulo simples é composto por um fio de massa desprezível com uma massa pontual presa na extremidade do fio e suspensa. Considere que a massa pontual é 2,00 \mathrm{~kg} e o comprimento do fio é 3,00 \mathrm{~m}. A massa é deslocada até uma posição que o fio forma um ângulo de 60^{\circ} em relação à vertical e abandonada a partir do repouso.
A) Determinar o torque sobre o pêndulo e a aceleração angular da massa ao ser abandonada.
B) Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, através da conservação da energia.

Passo 1

Dados do enunciado e o que pedem:
  • Massa da partícula: m = 2,00\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento do fio: L = 3,00\\ \mathrm{m}.
  • Posição inicial: fio formando ângulo \theta_0 = 60^\circ em relação à vertical.
  • Condição inicial: abandonada a partir do repouso (velocidade inicial angular nula).
  • Valor da aceleração da gravidade que usarei: g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

    Perguntas:

    A) Determinar o torque sobre o pêndulo no instante em que é abandonado e a aceleração angular da massa nesse instante.
    B) Determinar a velocidade angular do pêndulo ao atingir a posição vertical, usando conservação de energia.

Passo 2

O que é torque e como calcular aqui (aula curta e concreta).
  • Torque ( \tau) é a tendência de uma força em causar rotação; para uma força \vec{F} aplicada a um ponto que está a um vetor posição \vec{r} do eixo, o torque é \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. O módulo pode ser pensado como \tau = r \cdot F_\perp, ou seja, a distância multiplicada pela componente da força perpendicular ao braço.
  • No pêndulo a força que causa torque é o peso \vec{P}=m\vec{g} aplicado na massa, com módulo mg. A componente do peso perpendicular ao fio (que produz torque em relação ao ponto de suspensão) tem magnitude mg\sin\theta quando o fio faz ângulo \theta com a vertical.
  • Assim o módulo do torque em relação ao ponto de suspensão é
\tau = L \cdot (mg\sin\theta) = mgL\sin\theta.
Aqui m é a massa, g a aceleração da gravidade, L o comprimento do fio e \theta o ângulo medido a partir da vertical. O sinal (positivo/negativo) depende da convenção de sentido: ao abandonar em \theta=60^\circ a torque é restaurador (tende a diminuir \theta), portanto é usual escrever \tau = -mgL\sin\theta se tomarmos \theta>0 no sentido escolhido.

Passo 3

Cálculo numérico do torque no instante inicial ( \theta=60^\circ).

Primeiro calculemos mg:
m g = 2,00 \cdot 9,81 = 19,62\\ \mathrm{N}.
Multiplicando por L:
mgL = 19,62 \cdot 3,00 = 58,86\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora a componente \sin 60^\circ. Sabemos que \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254. Então
\tau = mgL\sin 60^\circ = 58,86 \cdot 0,8660254 \approx 50,99\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretando o sinal: como o torque tende a reduzir \theta (restaurador), escrevemos o torque vetorial como
\tau = -50,99\\ \mathrm{N\cdot m}
se tomarmos \theta positivo no sentido inicial. Se pedirem apenas magnitude, é 50,99\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

O que é momento de inércia e valor para este pêndulo (aula curta).
  • O momento de inércia I mede a resistência de um corpo a alterar sua rotação; para uma massa pontual m a uma distância r do eixo, I = m r^2.
  • No nosso pêndulo a massa está a distância L do ponto de suspensão, logo
I = mL^2.
Cálculo numérico:
I = 2,00 \cdot (3,00)^2 = 2,00 \cdot 9,00 = 18,0\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 5

Relacionando torque e aceleração angular (lei rotacional: aula + aplicação).
  • Análogo rotacional de F = ma é \tau = I \alpha, onde \alpha é a aceleração angular (segundo derivada angular).
  • Portanto
\alpha = \frac{\tau}{I}.
Substituindo a expressão do torque para o pêndulo:
\alpha = \frac{-mgL\sin\theta}{mL^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta.
Note que aqui cancelou a massa m (por isso a aceleração angular instantânea não depende de m para pêndulo ideal) e restou dependência de g, L e \theta.

Passo 6

Cálculo numérico da aceleração angular ao ser abandonado ( \theta=60^\circ).

Calcule \frac{g}{L}:
\frac{g}{L} = \frac{9,81}{3,00} = 3,27\\ \mathrm{s^{-2}}.
Multiplicando por \sin 60^\circ \approx 0,8660254:
\alpha = -3,27\cdot 0,8660254 \approx -2,83\\ \mathrm{rad/s^2}.
O sinal negativo indica que a aceleração angular tem sentido de reduzir \theta (ou seja, em direção à posição vertical).

Passo 7

Conservação de energia para obter a velocidade angular na posição vertical (aula + derivação).
  • Princípio: em ausência de atrito e resistência do ar, a variação da energia potencial gravitacional vira energia cinética rotacional.
  • A variação da energia potencial ao descer de ângulo \theta_0 até a vertical ( \theta=0) é igual à energia cinética rotacional na vertical:
\Delta U = K_\text{rot} = \tfrac{1}{2} I \omega^2,
onde \omega é a velocidade angular ao passar pela vertical.
  • Altura vertical que a massa desceu ao ir de \theta_0 até \theta=0: se a massa está em um círculo de raio L, a coordenada vertical relativa ao ponto mais baixo é y = L\cos\theta. A descida é
\Delta h = L\cos 0 - L\cos\theta_0 = L(1 - \cos\theta_0).
Portanto a perda de energia potencial é
\Delta U = mgL(1 - \cos\theta_0).
  • Igualando:
mgL(1 - \cos\theta_0) = \tfrac{1}{2} I \omega^2.
Como I = mL^2, simplifica-se m, obtendo a expressão direta para \omega:
\omega^2 = \frac{2g(1 - \cos\theta_0)}{L}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{2g(1 - \cos\theta_0)}{L}}.

Passo 8

Cálculo numérico de \omega para \theta_0=60^\circ.

Primeiro \cos 60^\circ = 0,5. Então 1 - \cos\theta_0 = 0,5.

Substituindo:
\omega = \sqrt{\frac{2\cdot 9,81 \cdot 0,5}{3,00}} = \sqrt{\frac{9,81}{3,00}} = \sqrt{3,27} \approx 1,81\\ \mathrm{rad/s}.
Também podemos verificar via números já calculados: \Delta U = mgL(1-\cos\theta_0)=2,00\cdot 9,81\cdot 3,00\cdot 0,5 = 29,43\\ \mathrm{J}. Como I=18,0\\ \mathrm{kg\,m^2},
\tfrac{1}{2}I\omega^2 = 29,43 \implies \omega^2 = \frac{2\cdot 29,43}{18,0}=3,27 \implies \omega\approx 1,81\\ \mathrm{rad/s},
mesmo resultado.

Resposta

A) \tau = -50,99\\ \mathrm{N\cdot m} (torque restaurador, magnitude 50,99\\ \mathrm{N\cdot m}); \alpha = -2,83\\ \mathrm{rad/s^2}.\nB) \omega = 1,81\\ \mathrm{rad/s}.

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