Um disco homogêneo de massa 10 kg e raio 0 ,5 m parte do repouso e gira em torno de um eixo fixo. Uma força tangencial de 20 N atua na borda do disco durante 4 s. Determine:
a) O trabalho realizado pela força aplicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco homogêneo com massa de 10 kg e raio de 0,5 m que começa a girar a partir do repouso. Uma força tangencial de 20 N atua na borda desse disco durante 4 segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir o trabalho realizado por essa força aplicada. Para isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e trabalho em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é uma medida de quão forte uma força está fazendo algo girar. É calculado multiplicando a força aplicada pelo braço da força, que nesse caso é o raio do disco. A fórmula do torque ( tau) é:
tau = F times r
Onde:
  • F é a força aplicada (20 N)
  • r é o raio do disco (0,5 m)
Então, substituindo os valores:
tau = 20, N times 0,5, m = 10, N cdot m

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a aceleração angular ( alpha), que nos diz quão rápido a velocidade angular está aumentando. Para isso, usamos a relação entre torque e momento de inércia ( I):
tau = I times alpha
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia para um disco homogêneo que gira em torno de um eixo central. A fórmula para o momento de inércia de um disco é:
I = 12 times m times r^2
Onde:
  • m é a massa do disco (10 kg)
  • r é o raio do disco (0,5 m)
Substituindo os valores:
I = 12 times 10, kg times (0,5, m)^2 = 12 times 10 times 0,25 = 1,25, kg cdot m^2
Agora, voltando à fórmula do torque:
10, N cdot m = 1,25, kg cdot m^2 times alpha
Resolvendo para alpha:
alpha = 101,25 = 8, rad/s^2

Passo 4

Com a aceleração angular, podemos encontrar a variação do ângulo ( theta) que o disco gira durante os 4 segundos. Usamos a equação de movimento angular uniformemente acelerado:
theta = omega0 times t + 12 times alpha times t^2
Como o disco parte do repouso, omega0 = 0. Então:
theta = 12 times 8, rad/s^2 times (4, s)^2 = 12 times 8 times 16 = 64, rad

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força. No contexto de movimento circular, o trabalho ( W) realizado por um torque é dado por:
W = tau times theta
Já temos:
  • tau = 10, N cdot m
  • theta = 64, rad
Então:
W = 10, N cdot m times 64, rad = 640, J

Resposta

O trabalho realizado pela força aplicada é de 640 Joules.

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