Um disco homogêneo, de massa
e raio
, montado em um eixo horizontal fixo, tem um bloco de massa
pendurado por uma corda, de massa desprezível, enrolada na borda do disco. A corda não escorrega e o atrito no eixo é desprezível. Determine: A aceleração do bloco e a tração da corda;
Passo 1
Beleza, aqui o que temos:
Enunciado resumido: um disco homogêneo de massa e raio
está preso num eixo sem atrito. Uma corda enrola a borda do disco e sustenta um bloco de massa
. A corda não escorrega.
Conteúdo da matéria: dinâmica de translação (2ª lei de Newton), dinâmica de rotação (torque e momento de inércia), e condição de não deslizamento ( ). Vamos precisar do momento de inércia do disco
, das equações
e
.
Enunciado resumido: um disco homogêneo de massa
Conteúdo da matéria: dinâmica de translação (2ª lei de Newton), dinâmica de rotação (torque e momento de inércia), e condição de não deslizamento (
Passo 2
Analisando o bloco (translação):
Forças no bloco: peso para baixo e tensão para cima
. Pela 2ª lei de Newton:
Forças no bloco: peso para baixo
Isso diz que a diferença entre peso e tensão faz o bloco acelerar para baixo com aceleração
.
Passo 3
Analisando o disco (rotação):
A única força que gera torque no disco é a tensão aplicada na borda. Então
A única força que gera torque no disco é a tensão
e pela 2ª lei de Newton para rotação
sendo o momento de inércia de um disco uniforme
Passo 4
Condição de não deslizamento: a aceleração linear da corda
e a aceleração angular do disco
estão ligadas por
Substituindo em
:
Passo 5
Agora voltamos à equação do bloco
e substituímos
:
Logo
Passo 6
Para achar a tensão, uso
:
Resposta
A aceleração do bloco é
e a tensão na corda é
.