Um disco homogêneo, de massa M=2,5 kg e raio R=20 cm, montado em um eixo horizontal fixo, tem um bloco de massa m=1,2 kg pendurado por uma corda, de massa desprezível, enrolada na borda do disco. A corda não escorrega e o atrito no eixo é desprezível. Determine: A energia cinética de rotação.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um disco homogêneo de massa
,kg e raio ,m preso num eixo sem atrito. Na borda desse disco está enrolada uma corda (sem massa) que sustenta um bloco de massa
,kg. A corda não escorrega, então o bloco que desce faz o disco girar.
Conteúdo: dinâmica de rotação (momento de inércia e torque), união entre translação e rotação e conservação de energia.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o momento de inércia do disco.
  2. Usar conservação de energia para relacionar a perda de energia potencial do bloco com as energias cinéticas (do bloco e do disco).
  3. Extrair daí a energia cinética de rotação .

Passo 2

Momento de inércia do disco (homogêneo, eixo no centro):
I=tfrac12,M,R^2=tfrac12,(2,5),(0,20)^2= 12cdot2,5cdot0,04=0,05 kgcdot m^2

Passo 3

Quando o bloco desce uma altura omega= vR , ele perde energia potencial
m g h = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,I,omega^2 = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,Il( vRr)^2 . Essa energia vai toda para:
  1. energia cinética de translação do bloco
    ,
  2. energia cinética de rotação do disco
    .
Como a corda não escorrega, a velocidade angular do disco e a velocidade linear do bloco estão ligadas por
Pela conservação de energia:

Passo 4

Substituindo m g h = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12cdotl(tfrac12MR^2r),v^2R^2 = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac14,M,v^2 e m g h = l(tfrac12,m + tfrac14,Mr),v^2 Longrightarrow v^2 = 2,m,g,hm + tfrac12,M, :
Fatorando :

Passo 5

Agora, a energia cinética de rotação do disco é
Krm rot = tfrac12,I,omega^2 = tfrac12cdotl(tfrac12,M,R^2r)cdotl( vRr)^2 = tfrac14,M,v^2
Basta pôr Krm rot = tfrac14,M;2,m,g,hm + tfrac12,M = M,m,g,h2,l(m + tfrac12,Mr) = M,m,g,h2m + M, que achamos:

Resposta

boxedKrm rot ;=;M,m,g,h2m + M
ou, em números,
Krm rot = 2,5cdot1,2;g;h2cdot1,2 +2,5 = 3,0,g,h4,9approx0,612,g,h

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