- Uma nave espacial está se movendo a
em relação à Terra quando, após ter queimado todo o combustível, o motor do foguete (de massa 4 m ) é desacoplado e ejetado para trás com uma velocidade de
em relação ao módulo de comando (de massa m). Qual é a velocidade do módulo de comando em relação à Terra imediatamente após a separação?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos:
- Pede: a velocidade do módulo de comando em relação à Terra imediatamente após a separação.
- Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Velocidade inicial do conjunto (módulo de comando + motor) em relação à Terra:
. - Massa do módulo de comando:
. - Massa do motor (foguete ejetado):
. - Velocidade do motor em relação ao módulo de comando (após a separação):
para trás (ou seja, no sentido oposto ao movimento).
- Velocidade inicial do conjunto (módulo de comando + motor) em relação à Terra:
- Resumo da pergunta: encontrar a velocidade final do módulo de comando relativa à Terra imediatamente após o motor ser ejetado.
Passo 2
Definir variáveis e escolher sentido positivo:
- Adoto o sentido do movimento inicial (para frente) como positivo.
- Seja
a velocidade inicial do conjunto em relação à Terra. - Seja
a velocidade final do módulo de comando em relação à Terra (o que queremos). - Seja
a velocidade final do motor em relação à Terra. - Relação entre
e : o enunciado diz que o motor é ejetado para trás com velocidade em relação ao módulo de comando. Isso significa que a velocidade do motor em relação à Terra é a velocidade do comando menos . Em fórmulas:
Passo 3
Princípio físico a usar: conservação da quantidade de movimento (momentum linear)
- Explicação didática: a quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida por
. Se não há forças externas resultantes significativas na direção considerada (a separação é interna ao sistema nave+motor), a quantidade de movimento total do sistema antes da separação é igual à quantidade de movimento total após a separação. - Escrevendo a conservação para este problema:
- Substituindo as massas
e e cancelando o fator (todos os termos têm fator ):
Passo 4
Substituir
e a relação
na equação de conservação e resolver passo a passo:
- Primeiro substituo
:
- Agora substituo
:
- Calcular
:
- Calcular
:
então
- Isolar
: somo em ambos os lados:
ou seja
- Divido por
:
Passo 5
Verificação e interpretação física rápida:
- O valor encontrado é
, que é maior que a velocidade inicial . Isso faz sentido: ao ejetar massa para trás o módulo de comando ganha um pequeno impulso para frente (como um coice), aumentando sua velocidade. - Consistência com o motor: a velocidade do motor em relação à Terra seria
, ligeiramente menor que a velocidade inicial, também coerente com a ideia de ter sido lançado para trás relativo ao comando.