1. Uma nave espacial está se movendo a 4300 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação à Terra quando, após ter queimado todo o combustível, o motor do foguete (de massa 4 m ) é desacoplado e ejetado para trás com uma velocidade de 82 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação ao módulo de comando (de massa m). Qual é a velocidade do módulo de comando em relação à Terra imediatamente após a separação?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos:
  • Pede: a velocidade do módulo de comando em relação à Terra imediatamente após a separação.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Velocidade inicial do conjunto (módulo de comando + motor) em relação à Terra: \,4300\\ \mathrm{km/h}.
    • Massa do módulo de comando: m.
    • Massa do motor (foguete ejetado): 4m.
    • Velocidade do motor em relação ao módulo de comando (após a separação): 82\\ \mathrm{km/h} para trás (ou seja, no sentido oposto ao movimento).
  • Resumo da pergunta: encontrar a velocidade final do módulo de comando relativa à Terra imediatamente após o motor ser ejetado.

Passo 2

Definir variáveis e escolher sentido positivo:
  • Adoto o sentido do movimento inicial (para frente) como positivo.
  • Seja \,v_{\text{in}}=4300\\ \mathrm{km/h} a velocidade inicial do conjunto em relação à Terra.
  • Seja \,v_c a velocidade final do módulo de comando em relação à Terra (o que queremos).
  • Seja \,v_r a velocidade final do motor em relação à Terra.
  • Relação entre \,v_r e \,v_c: o enunciado diz que o motor é ejetado para trás com velocidade 82\\ \mathrm{km/h} em relação ao módulo de comando. Isso significa que a velocidade do motor em relação à Terra é a velocidade do comando menos 82\\ \mathrm{km/h}. Em fórmulas:
v_r = v_c - 82.

Passo 3

Princípio físico a usar: conservação da quantidade de movimento (momentum linear)
  • Explicação didática: a quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida por p = \text{massa}\times\text{velocidade}. Se não há forças externas resultantes significativas na direção considerada (a separação é interna ao sistema nave+motor), a quantidade de movimento total do sistema antes da separação é igual à quantidade de movimento total após a separação.
  • Escrevendo a conservação para este problema:
\text{(massa total inicial)}\cdot v_{\text{in}} = \text{(massa do comando)}\cdot v_c + \text{(massa do motor)}\cdot v_r.
  • Substituindo as massas m e 4m e cancelando o fator m (todos os termos têm fator m):
5 \cdot v_{\text{in}} = v_c + 4\,v_r.

Passo 4

Substituir v_{\text{in}} e a relação v_r = v_c - 82 na equação de conservação e resolver passo a passo:
  • Primeiro substituo v_{\text{in}}=4300:
5\cdot 4300 = v_c + 4\,v_r.
  • Agora substituo v_r = v_c - 82:
5\cdot 4300 = v_c + 4\,(v_c - 82).
  • Calcular 5\cdot 4300:
21500 = v_c + 4v_c - 4\cdot 82.
  • Calcular 4\cdot 82:
4\cdot 82 = 328,
então
21500 = 5v_c - 328.
  • Isolar v_c: somo 328 em ambos os lados:
21500 + 328 = 5v_c,
ou seja
21828 = 5v_c.
  • Divido por 5:
v_c = \frac{21828}{5} = 4365,6\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Verificação e interpretação física rápida:
  • O valor encontrado é \,v_c=4365,6\\ \mathrm{km/h}, que é maior que a velocidade inicial \,4300\\ \mathrm{km/h}. Isso faz sentido: ao ejetar massa para trás o módulo de comando ganha um pequeno impulso para frente (como um coice), aumentando sua velocidade.
  • Consistência com o motor: a velocidade do motor em relação à Terra seria v_r = v_c - 82 = 4365,6 - 82 = 4283,6\\ \mathrm{km/h}, ligeiramente menor que a velocidade inicial, também coerente com a ideia de ter sido lançado para trás relativo ao comando.

Resposta

\,4365,6\\ \mathrm{km/h}

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