(0,9) Um disco maciço de 100 kg e diâmetro 30 cm encontra-se suspenso por um cabo fixo no centro do disco. Considere que esse disco encontra-se em equilíbrio no plano horizontal até que um torque de 0,20 Nm aplicado sobre ele o desloca 1 rad de sua posição e o põe a oscilar. Calcule:
(a) o período de oscilação do disco;
(b) a velocidade angular;
(c) a velocidade linear na borda do disco.

Passo 1

O enunciado descreve um disco maciço de massa m=100:kg e diâmetro 0,30:m, logo raio R=0,15:m, suspenso por um cabo que exerce torque de M=0,20:N,m quando o gira theta=1:rad. O sistema se comporta como um pêndulo de torção, cuja constante de torção é kappa=M/theta e o momento de inércia do disco em torno do eixo central é I=tfrac12 mR^2. Vamos usar (a) a fórmula do período de oscilações pequenas
T=2piraizIkappa,
(b) conservação de energia elástica e cinética para achar a velocidade angular máxima, e (c) vrm max=omegarm maxR para a velocidade linear na borda.

Passo 2

Calculemos o momento de inércia e a constante de torção:
I=12,mR^2 =12times100times(0,15)^2 =1,125:kgcdot m^2
kappa=Mtheta =0,201 =0,20:N,m/rad

Passo 3

Agora o período de pequenas oscilações:
T=2piraizIkappa =2piraiz1,1250,20 =2piraiz5,625 =2pitimes2,372 approx14,9:s

Passo 4

Para a velocidade angular máxima usamos conservação de energia entre a energia potencial torsional U=tfrac12kappatheta^2 e a energia cinética rotacional K=tfrac12Iomega^2:
12,kappa,theta^2=12,I,omegarm max^2 Longrightarrow omegarm max =raizkappa,theta^2I =raiz0,20times1^21,125 =raiz0,1778 approx0,422:rad/s

Passo 5

Finalmente, a velocidade linear na borda do disco é
vrm max=omegarm max,R =0,422times0,15 approx0,0633:m/s

Resposta

(a) Tapprox14,9:s
(b) omegarm maxapprox0,422:rad/s
(c) vrm maxapprox0,0633:m/s

Exercícios relacionados