(2,1) Considere o modelo do átomo de Hidrogênio, em que temos um elétron girando em torno de um próton. Modelando o movimento do elétron em torno do próton como um movimento circular, determine:
(a) A amplitude do movimento;
(b) A força de ligação, usando a Lei de Coulomb entre as cargas;
(c) A constante elástica;
(d) O período de movimento;
(e) A frequência Angular;
(f) A equação da elongação;
(g) A equação da velocidade;

Passo 1

O enunciado modela o elétron girando em torno do próton como um movimento circular, e pede para tratá-lo como um MHS (movimento harmônico simples) na projeção sobre um eixo. Vamos usar:
  • A distância do próton ao elétron é o raio de Bohr a0.
  • A Lei de Coulomb para obter a força de ligação.
  • A equivalência entre força central e força elástica efetiva: F = k,A.
  • As fórmulas do MHS: T=2piraizm/k, omega=raizk/m, x(t)=Acos(omega t+phi) e v(t)=-Aomegasin(omega t+phi).

Passo 2

A amplitude do movimento é o raio da órbita de Bohr, dado por
A = a0 = 5,29times10^-11 m

Passo 3

A força de ligação é a força de Coulomb entre cargas e (elétron) e +e (próton):
F = ke ,e^2a0^2
onde ke=8,99times10^9;N,m^2/C^2 e e=1,60times10^-19,C. Numericamente,
F = 8,99times10^9cdot(1,60times10^-19)^2(5,29times10^-11)^2 approx 8,2times10^-8,N

Passo 4

A constante elástica efetiva k vem de F=k,A, logo
k = FA = 8,2times10^-85,29times10^-11 approx 1,55times10^3,N/m

Passo 5

O período do movimento harmônico é
T = 2piraizmek
com me=9,11times10^-31,kg. Substituindo,
T = 2piraiz9,11times10^-311,55times10^3 approx 1,52times10^-16,s

Passo 6

A frequência angular fica
omega = raizkme =raiz1,55times10^39,11times10^-31 approx 4,14times10^16,rad/s

Passo 7

Escolhendo fase inicial phi=0 em t=0 com x(0)=A, a elongação é
x(t) = A cos(omega t)

Passo 8

A velocidade no MHS é
v(t) = -A,omega,sin(omega t)

Resposta

(a) A = 5,29times10^-11,m
(b) F = 8,2times10^-8,N
(c) k = 1,55times10^3,N/m
(d) T = 1,52times10^-16,s
(e) omega = 4,14times10^16,rad/s
(f) x(t)=5,29times10^-11cos(4,14times10^16t) m.
(g) v(t)=-5,29times10^-11,(4,14times10^16)sin(4,14times10^16t) m/s.

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