Um disco de massa m está preso ao ponto médio de um eixo vertical que gira com uma velocidade angular \omega. Denotando por k a constante de elasticidade do sistema para movimento horizontal do disco e por e a excentricidade do disco em relação ao eixo, mostre que a deflexáo do centro do eixo pode ser escrita na forma
r=\frac{e(\omega / p)^{2}}{1-(\omega / p)^{2}}
onde p=\sqrt{k / m}.
19.102 Um disco de massa igual a 20 kg está preso, com uma excentricidade e=0,25 \mathrm{~mm}, no ponto médio de um eixo vertical A B que gira com velocidade angular \omega constante. Sabendo que uma força estática de 150 N deflete o eixo de 0,4 \mathrm{~mm}, determine (a) a velocidade angular \omega para a qual ocorre ressonáncia e (b) a deflexāo r do eixo quando \omega=1200 \mathrm{rpm}.

Passo 1

O enunciado descreve um disco de massa m preso ao ponto médio de um eixo vertical que tem rigidez lateral k. O disco está deslocado de forma excêntrica por uma distância e do eixo e gira com velocidade angular constante \omega. O problema é de vibrações forçadas harmônicas sem amortecimento, e pede (i) mostrar que a deflexão estática de equilíbrio rotacional é
r = \frac{e\,(\omega/p)^2}{1 - (\omega/p)^2},
onde p = \sqrt{k/m}, e (ii) para m=20\:\text{kg}, e=0{,}25\:\text{mm}, rigidez tal que F=150\:\text{N} produz \delta=0{,}4\:\text{mm}, encontrar (a) a rotação de ressonância e (b) o valor de r quando \omega=1200\:\text{rpm}.

Passo 2

Modelamos o movimento horizontal do disco pela equação de vibração forçada sem amortecimento:
m\,\ddot r + k\,r = m\,e\,\omega^2\cos(\omega t).
No regime permanente, a solução forçada tem a forma r(t)=R\cos(\omega t), onde R satisfaz
(-m\omega^2 + k)\,R = m\,e\,\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,e\,\omega^2}{k - m\,\omega^2}.

Passo 3

Definindo p = \sqrt{k/m}, temos k = m\,p^2. Substituindo em R,
R = \frac{m\,e\,\omega^2}{m\,p^2 - m\,\omega^2} = e\,\frac{\omega^2}{p^2 - \omega^2} = \frac{e\,(\omega/p)^2}{1 - (\omega/p)^2},
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 4

Agora determinamos numericamente k e p. Da estática: uma força F=150\:\text{N} provoca deslocamento \delta=0{,}4\:\text{mm}=0{,}0004\:\text{m}, logo
k = \frac{F}{\delta} = \frac{150}{0{,}0004} = 375000\:\text{N/m}.
Com m=20\:\text{kg},
p = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{375000}{20}} \approx 136{,}93\:\text{rad/s}.

Passo 5

(a) A ressonância ocorre quando \omega = p. Convertendo para rpm:
\omega_{\rm res}=136{,}93\:\mathrm{rad/s} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{rpm}=\frac{\omega_{\rm res}\,60}{2\pi} \approx \frac{136{,}93\cdot60}{6{,}283} \approx 1309\:\text{rpm}.

Passo 6

(b) Para \omega=1200\:\mathrm{rpm}, convertemos para rad/s:
\omega = 1200\;\frac{2\pi}{60}\approx 125{,}66\:\mathrm{rad/s}.
Então
\frac{\omega}{p} = \frac{125{,}66}{136{,}93}\approx 0{,}9179,
r = \frac{e\,(\omega/p)^2}{1 - (\omega/p)^2} = \frac{0{,}00025\cdot(0{,}9179)^2}{1-0{,}9179^2} \approx \frac{0{,}00025\cdot0{,}8432}{0{,}1568} \approx 0{,}00134\:\text{m} =1{,}34\:\text{mm}.

Resposta

(a) \displaystyle \omega_{\rm res}\approx 1309\:\text{rpm}.
(b) \displaystyle r\approx1{,}34\:\text{mm}.

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