Um disco de massa M e raio R gira com velocidade angular constante \omega_{o}. De repente, um inseto de massa m pousa a uma distância r do centro do disco. Calcule a nova velocidade angular do sistema.
Escolha uma opção:
\bigcirc \omega=\frac{2}{\left(1+\frac{2 m r^{2}}{M R^{2}}\right)} \omega_{o}
\bigcirc \omega=\frac{1}{\left(1+\frac{2 m r^{2}}{3 M R^{2}}\right)} \omega_{o}
\bigcirc \omega=\frac{1}{\left(1+\frac{m r^{2}}{2 M R^{2}}\right)} \omega_{o}
\bigcirc \omega=\frac{1}{\left(1+\frac{m r^{2}}{M R^{2}}\right)} \omega_{o}
\bigcirc \omega=\frac{1}{\left(1+\frac{2 m r^{2}}{M R^{2}}\right)} \omega_{o}

Passo 1

O enunciado diz: um disco uniforme de massa M e raio R gira com velocidade angular constante \omega_{o}. Um inseto de massa m pousa de repente a uma distância r do centro do disco. A pergunta é: qual a nova velocidade angular \omega do sistema disco+inseto depois do pouso?
Informações dadas:
M,\; R,\; \omega_{o},\; m,\; r
O que se pede: \omega após o inseto pousar a distância r.

Passo 2

Princípio físico usado: conservação do momento angular. Explicando devagar: o momento angular L de um corpo em rotação em torno de um eixo fixo é dado por
L = I\,\omega,
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo e \omega é a velocidade angular. Se não há torque externo resultante significativo atuando sobre o sistema no intervalo considerado (pouso muito rápido e eixo livre / sem atrito externo significativo), o momento angular total do sistema é conservado: o valor de L antes do pouso é igual ao valor de L depois do pouso.

Passo 3

Calcular o momento de inércia do disco antes do pouso. Para um disco circular uniforme que gira em torno do seu eixo central, o momento de inércia vale
I_{\text{disco}}=\tfrac{1}{2} M R^{2}.
Explicação rápida: essa é a fórmula padrão para um disco sólido homogêneo; a constante 1/2 surge da integração da massa distribuída em raios de 0 a R. Aqui M é a massa total do disco e R é o raio.
O inseto pode ser tratado como uma partícula puntiforme (massa concentrada) a distância r do eixo. O momento de inércia de uma partícula de massa m a distância r do eixo é
I_{\text{inseto}} = m r^{2}.
Portanto, depois do pouso o momento de inércia total do sistema é
I_{\text{total}} = I_{\text{disco}} + I_{\text{inseto}} = \tfrac{1}{2} M R^{2} + m r^{2}.

Passo 4

Escrevendo a conservação do momento angular: momento angular inicial (só o disco) = momento angular final (disco + inseto):
I_{\text{disco}}\,\omega_{o} = I_{\text{total}}\,\omega.
Substituindo I_{\text{disco}}=\tfrac{1}{2} M R^{2} e I_{\text{total}}=\tfrac{1}{2} M R^{2}+m r^{2}, temos
\tfrac{1}{2} M R^{2}\,\omega_{o} = \Big(\tfrac{1}{2} M R^{2} + m r^{2}\Big)\,\omega.
Isolando \omega:
\omega = \frac{\tfrac{1}{2} M R^{2}}{\tfrac{1}{2} M R^{2} + m r^{2}}\,\omega_{o}.

Passo 5

Simplificando a fração: divido numerador e denominador por \tfrac{1}{2} M R^{2}:
\omega = \frac{1}{1 + \dfrac{m r^{2}}{\tfrac{1}{2} M R^{2}}}\,\omega_{o} = \frac{1}{1 + \dfrac{2 m r^{2}}{M R^{2}}}\,\omega_{o}.
Interpretações rápidas para conferir: se m=0 então \omega=\omega_{o} (ok). Se r=0 (inseto pousa no centro) então \omega=\omega_{o} (ok, não muda). Se m cresce ou r aumenta, o denominador aumenta e \omega diminui — faz sentido físico: mais inércia aumenta e a rotação diminui.

Resposta

\omega=\frac{1}{\left(1+\frac{2 m r^{2}}{M R^{2}}\right)} \omega_{o}

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