Um disco de massa
e raio
gira com velocidade angular constante
. De repente, um inseto de massa
pousa a uma distância
do centro do disco. Calcule a nova velocidade angular do sistema.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado diz: um disco uniforme de massa
e raio
gira com velocidade angular constante
. Um inseto de massa
pousa de repente a uma distância
do centro do disco. A pergunta é: qual a nova velocidade angular
do sistema disco+inseto depois do pouso?
Informações dadas:
O que se pede:
após o inseto pousar a distância
.
Passo 2
Princípio físico usado: conservação do momento angular. Explicando devagar: o momento angular
de um corpo em rotação em torno de um eixo fixo é dado por
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo e
é a velocidade angular. Se não há torque externo resultante significativo atuando sobre o sistema no intervalo considerado (pouso muito rápido e eixo livre / sem atrito externo significativo), o momento angular total do sistema é conservado: o valor de
antes do pouso é igual ao valor de
depois do pouso.
Passo 3
Calcular o momento de inércia do disco antes do pouso. Para um disco circular uniforme que gira em torno do seu eixo central, o momento de inércia vale
Explicação rápida: essa é a fórmula padrão para um disco sólido homogêneo; a constante
surge da integração da massa distribuída em raios de 0 a
. Aqui
é a massa total do disco e
é o raio.
O inseto pode ser tratado como uma partícula puntiforme (massa concentrada) a distância
do eixo. O momento de inércia de uma partícula de massa
a distância
do eixo é
Portanto, depois do pouso o momento de inércia total do sistema é
Passo 4
Escrevendo a conservação do momento angular: momento angular inicial (só o disco) = momento angular final (disco + inseto):
Substituindo
e
, temos
Isolando
:
Passo 5
Simplificando a fração: divido numerador e denominador por
:
Interpretações rápidas para conferir: se
então
(ok). Se
(inseto pousa no centro) então
(ok, não muda). Se
cresce ou
aumenta, o denominador aumenta e
diminui — faz sentido físico: mais inércia aumenta e a rotação diminui.