Um objeto uniforme de massa m, raio R e momento de inércia I, em relação a um eixo que passa por seu centro de massa, rola sem deslizar sobre um plano inclinado que faz um ângulo \theta com a horizontal. Dentre as forças que atuam sobre o objeto, quais são capazes de produzir torque sobre o mesmo, em relação a seu centro de massa?
Escolha uma opção:
\bigcirc A normal e o peso.
\bigcirc A força de atrito e a componente do peso paralela ao plano inclinado.
\bigcirc A força de atrito e o peso.
\bigcirc Somente a força de atrito.
\bigcirc A normal e a força de atrito.

Passo 1

O enunciado dá um objeto uniforme de massa m, raio R e momento de inércia I em relação a um eixo pelo centro de massa, rolando sem deslizar num plano inclinado com ângulo \theta. Pergunta: dentre as forças que atuam sobre o objeto, quais são capazes de produzir torque sobre ele, em relação ao seu centro de massa?
Forças relevantes que atuam (lista explícita):
  • O peso, \vec{P}=m\vec{g}, aplicado no centro de massa.
  • A força normal da superfície, \vec{N}, aplicada no ponto de contato.
  • A força de atrito estático, \vec{f}, aplicada no ponto de contato (responsável por fazer rodar sem deslizar).

Passo 2

Definição operacional de torque (o que vamos usar): o torque de uma força \vec{F} em relação a um ponto (aqui o centro de massa) é o produto vetorial
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F},
onde \vec{r} é o vetor que vai do ponto de referência (o centro de massa) até o ponto de aplicação da força. Em módulo:
\tau = r\,F\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. Consequência prática: se a linha de ação da força passa pelo ponto de referência (isto é, se \vec{r} e \vec{F} são colineares ou \vec{r}=\vec{0}), então \tau=0.

Passo 3

Torque da força peso: o peso m\vec{g} atua exatamente no centro de massa. Isso significa que o vetor posição da aplicação em relação ao centro é \vec{r}=\vec{0}. Aplicando a definição,
\vec{\tau}_{\text{peso}}=\vec{0}\times m\vec{g}=\vec{0}.
Conclusão: o peso não produz torque em relação ao centro de massa (qualquer componente do peso também não produziria, pois continua aplicada no CM).

Passo 4

Torque da força normal: para um corpo circular/axissimétrico (disco, cilindro, esfera uniforme) tocando uma superfície plana, a normal no ponto de contato é perpendicular à superfície e coincide com a direção do raio que vai do centro até o ponto de contato. Ou seja, o vetor posição \vec{r} (do centro até o ponto de contato) é colinear com \vec{N}. Então o ângulo \varphi entre \vec{r} e \vec{N} é 0^\circ (ou 180^\circ), e
\vec{\tau}_{N}=\vec{r}\times\vec{N}=\vec{0}.
Portanto, para o objeto uniforme do enunciado, a força normal também não produz torque em relação ao centro de massa. (Observação empática: só em situações estranhas — por ex. deformação grande ou contato deslocado — a normal poderia ter braço de alavanca; aqui, com o corpo uniforme e rígido, não ocorre.)

Passo 5

Torque da força de atrito: a força de atrito estático \vec{f} age no ponto de contato, tangencial à superfície. Nesse ponto a direção de \vec{f} é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de contato, portanto o ângulo \varphi entre \vec{r} e \vec{f} é 90^\circ. Assim o módulo do torque é
\tau_{f}=r\,f\sin 90^\circ = R\,f.
Logo \vec{f} produz torque não nulo sobre o corpo em relação ao centro de massa. Esse torque é justamente o que causa a rotação do objeto (relacionado a \alpha por \tau_{f}=I\alpha quando consideramos só o efeito rotacional).

Passo 6

Conclusão final: entre as forças listadas, apenas a força de atrito produz torque não nulo em relação ao centro de massa (peso e normal não produzem torque nesse referencial). Portanto a alternativa correta é a que diz “Somente a força de atrito.”

Resposta

Somente a força de atrito.

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