Exercício 5: A partir da relação entre campo elétrico e potential elétrico,
\vec{E}=-\vec{\nabla} \Phi, \quad \vec{\nabla}=\vec{i} \frac{\partial}{\partial x}+\vec{j} \frac{\partial}{\partial y}+\vec{k} \frac{\partial}{\partial z}=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right),
obtenha o campo elétrico de um disco carregado com densidade superfical de cargas \sigma, em um ponto do seu eixo de simetria. (Use o potencial elétrico do exercício 4 ).

Passo 1

O enunciado pede: a partir da relação entre campo elétrico e potencial elétrico \vec{E}=-\vec{\nabla}\Phi, obter o campo elétrico de um disco de raio R com densidade superficial de carga \sigma, no ponto do seu eixo de simetria (ou seja, em um ponto sobre o eixo perpendicular ao disco que passa pelo centro). Informações dadas e usadas: o potencial elétrico do disco (fornecido pelo exercício 4) é
\Phi(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-|z|\bigr),
tomando o potencial nulo no infinito; aqui z é a coordenada ao longo do eixo do disco (o disco está em z=0), \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e \sigma é a densidade superficial de carga. Também temos a definição do operador nabla:
\vec{\nabla}=\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}.

Passo 2

Observação sobre simetria (por que só dependemos de z): no eixo de simetria o potencial \Phi depende apenas de z (não depende de x nem de y) porque o disco é circular e centrado na origem; portanto as derivadas parciais em x e y são nulas. Assim, o gradiente fica simplesmente
\vec{\nabla}\Phi=(0,0,\tfrac{d\Phi}{dz})=\vec{k}\,\frac{d\Phi}{dz}.
Explicando isso calmamente: se uma função f só depende de z, então \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0, logo \vec{\nabla}f=(0,0,f'(z)). Com isso, para achar \vec{E} no eixo basta calcular -d\Phi/dz e apontar na direção \vec{k}.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo a derivada \dfrac{d\Phi}{dz}\). Começamos com a expressão dada: \[\Phi(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-|z|\bigr).
Para derivar, trate separadamente os termos \sqrt{R^2+z^2} e |z|.
  1. Derivada da raiz: use a regra da cadeia. Se g(z)=\sqrt{R^2+z^2}=(R^2+z^2)^{1/2}, então
\frac{d}{dz}\sqrt{R^2+z^2}=\frac{1}{2}(R^2+z^2)^{-1/2}\cdot 2z=\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
  1. Derivada de |z|: lembrando que |z| é uma função com derivada \dfrac{d}{dz}|z|=\operatorname{sgn}(z) para z\neq0, onde
\operatorname{sgn}(z)=\begin{cases} +1, & z>0,\\[4pt] -1, & z<0. \end{cases}
No eixo pode-se considerar primeiro z\neq0\] (o caso \(z=0 tratamos por limite).
Portanto, para z\neq0,
\frac{d\Phi}{dz}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-\operatorname{sgn}(z)\right).]

Passo 4

Agora use \vec{E}=-\vec{\nabla}\Phi. Como vimos, \vec{\nabla}\Phi=\vec{k}\,\dfrac{d\Phi}{dz}, então
\vec{E}(0,0,z)=-\vec{k}\,\frac{d\Phi}{dz}=-\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-\operatorname{sgn}(z)\right).
Rearranjando os termos dentro do parêntese:
\vec{E}(0,0,z)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\operatorname{sgn}(z)-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right).

Passo 5

Interprete o resultado e escreva em forma mais explícita (casos z>0 e z<0):
  • Para z>0 temos \operatorname{sgn}(z)=+1, então
\vec{E}(0,0,z)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right),\qquad (z>0).
  • Para z<0 temos \operatorname{sgn}(z)=-1, e |z|=-z, portanto
\vec{E}(0,0,z)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(-1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) = -\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}}\right),\qquad (z<0).
Em linguagem física: para \sigma>0 o campo aponta para fora do disco (no sentido positivo de z acima do disco e sentido negativo de z abaixo do disco), como esperado porque cargas positivas repelem.

Passo 6

Cheque limites úteis (para usar na prova e mostrar consistência):
  1. Em z\to0^+ obtemos
\vec{E}(0,0,0^+)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-0\right)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0},
que é a contribuição esperada da face do disco (no centro).
  1. Em z\to\infty (ponto muito longe) a raiz se aproxima de \sqrt{R^2+z^2}\approx z+\dfrac{R^2}{2z}, então
1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\approx\frac{R^2}{2z^2}\to0,
ou seja o campo cai para zero como esperado para um arranjo finito.
  1. No limite R\to\infty (plano infinito) a expressão tende a \vec{E}=\pm\vec{k}\,\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}, recuperando o resultado do plano infinito carregado.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(0,0,z)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\operatorname{sgn}(z)-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) \
\displaystyle\text{ou, explicitamente:}\quad \vec{E}(0,0,z)=\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\\ (z>0),\quad \vec{E}(0,0,z)=-\vec{k}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\\ (z<0)

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