Exercício 5: A partir da relação entre campo elétrico e potential elétrico,
obtenha o campo elétrico de um disco carregado com densidade superfical de cargas
, em um ponto do seu eixo de simetria. (Use o potencial elétrico do exercício 4 ).
Passo 1
O enunciado pede: a partir da relação entre campo elétrico e potencial elétrico
, obter o campo elétrico de um disco de raio
com densidade superficial de carga
, no ponto do seu eixo de simetria (ou seja, em um ponto sobre o eixo perpendicular ao disco que passa pelo centro). Informações dadas e usadas: o potencial elétrico do disco (fornecido pelo exercício 4) é
tomando o potencial nulo no infinito; aqui
é a coordenada ao longo do eixo do disco (o disco está em
),
é a permissividade do vácuo e
é a densidade superficial de carga. Também temos a definição do operador nabla:
Passo 2
Observação sobre simetria (por que só dependemos de
): no eixo de simetria o potencial
depende apenas de
(não depende de
nem de
) porque o disco é circular e centrado na origem; portanto as derivadas parciais em
e
são nulas. Assim, o gradiente fica simplesmente
Explicando isso calmamente: se uma função
só depende de
, então
e
, logo
. Com isso, para achar
no eixo basta calcular
e apontar na direção
.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo a derivada
Para derivar, trate separadamente os termos
e
.
- Derivada da raiz: use a regra da cadeia. Se
, então
- Derivada de
: lembrando que é uma função com derivada para , onde
No eixo pode-se considerar primeiro
tratamos por limite).
Portanto, para
,
Passo 4
Agora use
. Como vimos,
, então
Rearranjando os termos dentro do parêntese:
Passo 5
Interprete o resultado e escreva em forma mais explícita (casos
e
):
- Para
temos , então
- Para
temos , e , portanto
Em linguagem física: para
o campo aponta para fora do disco (no sentido positivo de
acima do disco e sentido negativo de
abaixo do disco), como esperado porque cargas positivas repelem.
Passo 6
Cheque limites úteis (para usar na prova e mostrar consistência):
- Em
obtemos
que é a contribuição esperada da face do disco (no centro).
- Em
(ponto muito longe) a raiz se aproxima de , então
ou seja o campo cai para zero como esperado para um arranjo finito.
- No limite
(plano infinito) a expressão tende a , recuperando o resultado do plano infinito carregado.