Uma fita de massa desprezível é enrolada em volta de um cilindro de massa m e raio R. A fita é puxada verticalmente para cima, a uma velocidade que evita que o centro de massa do cilindro se desloque, enquanto o cilindro está sendo desenrolado. Qual é a tensão T na fita?
Escolha uma opção:
\bigcirc T=2 m g
\bigcirc T=m g
\bigcirc T=\frac{g}{\frac{I}{m R^{2}}-1}
\bigcirc T=m g / 2
\bigcirc T=\frac{g}{\frac{I}{m R^{2}}+1}

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de massa m e raio R com uma fita de massa desprezível enrolada à sua volta. A fita é puxada verticalmente para cima de modo que, enquanto a fita é desenrolada, o centro de massa do cilindro não se desloca. A pergunta é: qual é a tensão T na fita?
Informações relevantes:
\text{massa: } m,\qquad \text{raio: } R,\qquad \text{momento de inércia do cilindro (em relação ao eixo): } I,éçã
\text{fita sem massa, puxada para cima, e o centro de massa do cilindro permanece em repouso (sem deslocamento).}

Passo 2

Desenho mental e forças: sobre o cilindro atuam basicamente duas forças verticais relevantes: a tensão da fita para cima, T, aplicada no aro do cilindro, e o peso para baixo, mg. Não há outras forças verticais externas que movam o centro (o problema afirma que o centro não se desloca). Aplique a Segunda Lei para a translação do centro de massa:
\sum F_{\text{vert}} = m a_{\text{cm}}.
Aqui a_{\text{cm}} é a aceleração do centro de massa (positiva para cima).

Passo 3

Como o enunciado diz que o centro de massa não se desloca, a aceleração do centro é zero:
a_{\text{cm}}=0.
Substituindo na equação de translação:
T - mg = m a_{\text{cm}} = 0.
Daí vem diretamente:
T = mg.
Esse é o resultado para a força vertical necessária para manter o centro em repouso: a tensão deve equilibrar o peso.

Passo 4

Agora explico por que isso é consistente com a rotação que ocorre enquanto a fita é desenrolada. Para a rotação em torno do centro usamos a equação das torques:
\sum \tau_{\text{cm}} = I \alpha,
onde I é o momento de inércia do cilindro e \alpha é a aceleração angular. A tensão aplicada na borda produz um torque de magnitude T R (braço R). Tomando o sentido que produz \alpha positivo,
T R = I \alpha.

Passo 5

Com T=mg obtido no Passo 3, a aceleração angular da peça é
\alpha = \frac{T R}{I} = \frac{mgR}{I}.
Isto significa que, mesmo com o centro parado, a tensão faz o cilindro girar acelerando, o que corresponde ao desenrolar da fita.

Passo 6

Para fechar a consistência cinemática: a condição de não deslizamento entre fita e superfície do cilindro (a fita e a borda têm a mesma velocidade instantânea) dá a relação entre a aceleração da fita a_{\text{fita}}, a aceleração do centro a_{\text{cm}} e \alpha:
a_{\text{fita}} - a_{\text{cm}} = \alpha R.
Como a_{\text{cm}}=0, temos a_{\text{fita}}=\alpha R. Substituindo \alpha calculada no passo anterior:
a_{\text{fita}} = \frac{mgR}{I}\,R = \frac{mgR^{2}}{I}.
Ou seja, para manter o centro sem deslocamento enquanto desenrola, a fita precisa ser acelerada para cima com essa aceleração; a tensão correspondente que equilibrará o peso será T=mg, como já encontrado.

Resposta

T = m g

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