Uma fita de massa desprezível é enrolada em volta de um cilindro de massa
e raio
. A fita é puxada verticalmente para cima, a uma velocidade que evita que o centro de massa do cilindro se desloque, enquanto o cilindro está sendo desenrolado. Qual é a tensão
na fita?
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de massa
e raio
com uma fita de massa desprezível enrolada à sua volta. A fita é puxada verticalmente para cima de modo que, enquanto a fita é desenrolada, o centro de massa do cilindro não se desloca. A pergunta é: qual é a tensão
na fita?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
Passo 2
Desenho mental e forças: sobre o cilindro atuam basicamente duas forças verticais relevantes: a tensão da fita para cima,
, aplicada no aro do cilindro, e o peso para baixo,
. Não há outras forças verticais externas que movam o centro (o problema afirma que o centro não se desloca). Aplique a Segunda Lei para a translação do centro de massa:
Aqui
é a aceleração do centro de massa (positiva para cima).
Passo 3
Como o enunciado diz que o centro de massa não se desloca, a aceleração do centro é zero:
Substituindo na equação de translação:
Daí vem diretamente:
Esse é o resultado para a força vertical necessária para manter o centro em repouso: a tensão deve equilibrar o peso.
Passo 4
Agora explico por que isso é consistente com a rotação que ocorre enquanto a fita é desenrolada. Para a rotação em torno do centro usamos a equação das torques:
onde
é o momento de inércia do cilindro e
é a aceleração angular. A tensão aplicada na borda produz um torque de magnitude
(braço
). Tomando o sentido que produz
positivo,
Passo 5
Com
obtido no Passo 3, a aceleração angular da peça é
Isto significa que, mesmo com o centro parado, a tensão faz o cilindro girar acelerando, o que corresponde ao desenrolar da fita.
Passo 6
Para fechar a consistência cinemática: a condição de não deslizamento entre fita e superfície do cilindro (a fita e a borda têm a mesma velocidade instantânea) dá a relação entre a aceleração da fita
, a aceleração do centro
e
:
Como
, temos
. Substituindo
calculada no passo anterior:
Ou seja, para manter o centro sem deslocamento enquanto desenrola, a fita precisa ser acelerada para cima com essa aceleração; a tensão correspondente que equilibrará o peso será
, como já encontrado.