Para que o disco permaneça em repouso, o módulo da tensão
do fio deve ser igual ao peso
do cilindro. Como a tensão do fio é a força centrífuga que mantém o disco em uma trajetória circular,
. Assim,
. Explicitando a velocidade, temos:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a velocidade
do disco para que o sistema fique em equilíbrio (isto é, para que o disco gire e o cilindro de massa
permaneça em repouso).
Dados fornecidos:
Observação: o fio é o mesmo para o disco (massa
) que se move em círculo horizontal e para o cilindro (massa
) que fica pendurado; portanto a tensão
no fio é a mesma para ambos.
Passo 2
Análise do cilindro pendurado (massa
): como o cilindro está em repouso (equilíbrio), as forças verticais se anulam. As duas forças verticais principais são:
- a tensão do fio, para cima, que chamamos de
; - o peso do cilindro, para baixo, que é
.
Pela condição de equilíbrio vertical do cilindro temos:
Expliquei: isso vem da soma das forças verticais igual a zero (cinética nula), ou seja
.
Passo 3
Análise do disco que gira em trajetória circular de raio
: o disco está descrevendo movimento circular horizontal uniforme (o enunciado indica que a tensão é a força centrípeta). A força que mantém o disco na trajetória circular é a componente horizontal da tensão no fio — aqui a tensão total
é a força resultante horizontal para o disco (modelo idealizado).
Para movimento circular uniforme, a força centrípeta (isto é, a força resultante dirigida para o centro) tem módulo dado por:
onde:
-
é a massa do corpo que gira (aqui o disco), -
é a velocidade tangencial do disco, -
é o raio da trajetória.
Expliquei: essa fórmula vem da definição de aceleração centrípeta
e da segunda lei de Newton
.
Passo 4
Como a única força horizontal que age sobre o disco (no modelo) é a tensão
, essa tensão fornece a força centrípeta. Assim:
Passo 5
Agora juntamos as duas relações obtidas nos passos anteriores: do cilindro
e do disco
. Igualando as duas expressões para
obtemos:
Passo 6
Isolando
na equação anterior:
e, portanto,
Aqui cada símbolo significa:
-
: velocidade que queremos; -
: massa do cilindro pendurado; -
: aceleração da gravidade; -
: raio da trajetória do disco; -
: massa do disco.
Passo 7
Substituímos os valores numéricos dados e calculamos cuidadosamente (mostrando passos aritméticos):
Calcule passo a passo:
Logo
Portanto a velocidade é
Passo 8
Verificação de unidades e arredondamento: a quantidade dentro da raiz tem unidade
, então a raiz dá
, como esperado. Arredondando o resultado numérico para três dígitos significativos teremos o valor final indicado abaixo.