Para que o disco permaneça em repouso, o módulo da tensão T do fio deve ser igual ao peso M g do cilindro. Como a tensão do fio é a força centrífuga que mantém o disco em uma trajetória circular, T=m v^{2} / r. Assim, M g=m v^{2} / r. Explicitando a velocidade, temos:
v=\sqrt{\frac{M g r}{m}}=\sqrt{\frac{(2,50 \mathrm{~kg})\left(9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)(0,200 \mathrm{~m})}{1,50 \mathrm{~kg}}}=1,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a velocidade v do disco para que o sistema fique em equilíbrio (isto é, para que o disco gire e o cilindro de massa M permaneça em repouso).
Dados fornecidos:
M=2,50\\ \mathrm{kg},\qquad m=1,50\\ \mathrm{kg},\qquad r=0,200\\ \mathrm{m},\qquad g=9,80\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Observação: o fio é o mesmo para o disco (massa m) que se move em círculo horizontal e para o cilindro (massa M) que fica pendurado; portanto a tensão T no fio é a mesma para ambos.

Passo 2

Análise do cilindro pendurado (massa M): como o cilindro está em repouso (equilíbrio), as forças verticais se anulam. As duas forças verticais principais são:
  • a tensão do fio, para cima, que chamamos de T;
  • o peso do cilindro, para baixo, que é M g.
Pela condição de equilíbrio vertical do cilindro temos:
T = M g.
Expliquei: isso vem da soma das forças verticais igual a zero (cinética nula), ou seja T - M g = 0.

Passo 3

Análise do disco que gira em trajetória circular de raio r: o disco está descrevendo movimento circular horizontal uniforme (o enunciado indica que a tensão é a força centrípeta). A força que mantém o disco na trajetória circular é a componente horizontal da tensão no fio — aqui a tensão total T é a força resultante horizontal para o disco (modelo idealizado).
Para movimento circular uniforme, a força centrípeta (isto é, a força resultante dirigida para o centro) tem módulo dado por:
F_{\mathrm{cp}}=\frac{m v^{2}}{r},
onde:
  • m é a massa do corpo que gira (aqui o disco),
  • v é a velocidade tangencial do disco,
  • r é o raio da trajetória.
Expliquei: essa fórmula vem da definição de aceleração centrípeta a_{\mathrm{cp}}=v^{2}/r e da segunda lei de Newton F=ma.

Passo 4

Como a única força horizontal que age sobre o disco (no modelo) é a tensão T, essa tensão fornece a força centrípeta. Assim:
T = \frac{m v^{2}}{r}.

Passo 5

Agora juntamos as duas relações obtidas nos passos anteriores: do cilindro T = M g e do disco T = \dfrac{m v^{2}}{r}. Igualando as duas expressões para T obtemos:
M g = \frac{m v^{2}}{r}.

Passo 6

Isolando v na equação anterior:
v^{2} = \frac{M g r}{m}
e, portanto,
v = \sqrt{\frac{M g r}{m}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • v: velocidade que queremos;
  • M: massa do cilindro pendurado;
  • g: aceleração da gravidade;
  • r: raio da trajetória do disco;
  • m: massa do disco.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos dados e calculamos cuidadosamente (mostrando passos aritméticos):
M g r = (2,50)\times(9,80)\times(0,200).
Calcule passo a passo:
9,80\times 0,200 = 1,96,
2,50\times 1,96 = 4,90.
Logo
\frac{M g r}{m}=\frac{4,90}{1,50}=3,266\overline{6}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}.
Portanto a velocidade é
v=\sqrt{3,266\overline{6}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}}.

Passo 8

Verificação de unidades e arredondamento: a quantidade dentro da raiz tem unidade \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}, então a raiz dá \mathrm{m}/\mathrm{s}, como esperado. Arredondando o resultado numérico para três dígitos significativos teremos o valor final indicado abaixo.

Resposta

v=1,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados