PENSE Neste problema, como a força de atrito varia com a velocidade, precisamos usar uma integral para calcular a velocidade em função do tempo.
FORMULE Vamos chamar o módulo da força de atrito de \alpha v, em que \alpha é uma constante, e supor que o barco está se movendo no sentido positivo do eixo de referência. Nesse caso, de acordo com a segunda lei de Newton,
-\alpha v=m \frac{d v}{d t} \Rightarrow \frac{d v}{v}=-\frac{\alpha}{m} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Temos as seguintes informações já formuladas no enunciado que você mandou:
-\alpha v = m \frac{dv}{dt}
onde \alpha é uma constante (coeficiente de atrito proporcional à velocidade), m é a massa do barco, v=v(t) é a velocidade em módulo e o barco está se movendo no sentido positivo do eixo (portanto v>0 enquanto se move). O enunciado pede calcular a velocidade em função do tempo, isto é, encontrar v(t). Para poder determinar a solução com a constante de integração, vou assumir a condição inicial usualmente considerada em problemas desse tipo: a velocidade no instante t=0 é v(0)=v_0, com v_0>0.

Passo 2

Entendendo a equação e a técnica a usar (separação de variáveis). A equação
-\alpha v = m \frac{dv}{dt}
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis porque podemos escrever todos os termos com v de um lado e os termos com t do outro. Separar variáveis significa manipular a equação para ter algo da forma g(v)\,dv = h(t)\,dt, daí integrar ambos os lados. Isso funciona quando é possível isolar dv e dt multiplicando/dividindo por funções de v e t. Aqui a equação já é linear em v e bastante simples para separar.

Passo 3

Separando as variáveis passo a passo. Começamos dividindo ambos os lados por v e por m e rearranjando para obter diferencial de v isolado:
-\alpha v = m \frac{dv}{dt}
\Rightarrow \frac{dv}{dt} = -\frac{\alpha}{m}\,v
Agora colocamos todos os termos em v no lado esquerdo e dt no direito:
\frac{1}{v}\,dv = -\frac{\alpha}{m}\,dt.
Isso é exatamente a forma apropriada para integrar: a esquerda só depende de v e a direita só de t.

Passo 4

Integração das duas partes e interpretação da primitiva. Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{v}\,dv = \int -\frac{\alpha}{m}\,dt.
A integral da esquerda é a função logarítmica natural porque \dfrac{d}{dv}(\ln|v|)=\dfrac{1}{v}. A integral da direita é uma constante multiplicada por t. Portanto
\ln|v| = -\frac{\alpha}{m}t + C,
onde C é a constante de integração. Observação importante: aparece \ln|v| por regra da primitiva, mas como o enunciado afirma que o barco se move no sentido positivo (e assumimos v_0>0), podemos, a partir daqui, tirar o valor absoluto e escrever \ln v (já que v(t)>0 durante o movimento que estamos descrevendo).

Passo 5

Isolando v e exponenciando. Aplicamos exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v = e^{-\frac{\alpha}{m}t + C} = e^{C}\,e^{-\frac{\alpha}{m}t}.
Denotamos e^{C} por uma nova constante positiva A, então
v(t) = A\,e^{-\frac{\alpha}{m}t}.
Aqui A>0 porque e^{C}>0. A forma exponencial já mostra que a velocidade decai exponencialmente com tempo.

Passo 6

Aplicando a condição inicial para determinar a constante e interpretar o resultado. Usamos v(0)=v_0:
v(0)=A\,e^{0}=A=v_0.
Portanto A=v_0 e a solução particular com a condição inicial é
v(t)=v_0\,e^{-\frac{\alpha}{m}t}.
Interpretação física: a velocidade decai exponencialmente até se aproximar de zero quando t\to\infty. Se \alpha aumenta (mais atrito), a queda é mais rápida; se m aumenta (mais inércia), a queda é mais lenta. Limite:
\lim_{t\to\infty} v(t)=0.
Verificação rápida de unidades: \alpha/m deve ter unidade de 1/tempo para o expoente ser adimensional, o que bate com a interpretação de taxa de decaimento.

Passo 7

Um exemplo numérico (pra fixar e te dar confiança). Suponha m=2 (kg), \alpha=1 (N·s/m) e v_0=3 (m/s). Então
v(t)=3\,e^{-\frac{1}{2}t}.
Em t=2 segundos, v(2)=3\,e^{-1}\approx 1{,}10 m/s. Isso mostra como aplicar a fórmula sem mistério.

Resposta

v(t)=v_{0}\,e^{-\frac{\alpha}{m}t}

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