PENSE Neste problema, como a força de atrito varia com a velocidade, precisamos usar uma integral para calcular a velocidade em função do tempo.
FORMULE Vamos chamar o módulo da força de atrito de
, em que
é uma constante, e supor que o barco está se movendo no sentido positivo do eixo de referência. Nesse caso, de acordo com a segunda lei de Newton,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Temos as seguintes informações já formuladas no enunciado que você mandou:
onde
é uma constante (coeficiente de atrito proporcional à velocidade),
é a massa do barco,
é a velocidade em módulo e o barco está se movendo no sentido positivo do eixo (portanto
enquanto se move). O enunciado pede calcular a velocidade em função do tempo, isto é, encontrar
. Para poder determinar a solução com a constante de integração, vou assumir a condição inicial usualmente considerada em problemas desse tipo: a velocidade no instante
é
, com
.
Passo 2
Entendendo a equação e a técnica a usar (separação de variáveis). A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis porque podemos escrever todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Separar variáveis significa manipular a equação para ter algo da forma
, daí integrar ambos os lados. Isso funciona quando é possível isolar
e
multiplicando/dividindo por funções de
e
. Aqui a equação já é linear em
e bastante simples para separar.
Passo 3
Separando as variáveis passo a passo. Começamos dividindo ambos os lados por
e por
e rearranjando para obter diferencial de
isolado:
Agora colocamos todos os termos em
no lado esquerdo e
no direito:
Isso é exatamente a forma apropriada para integrar: a esquerda só depende de
e a direita só de
.
Passo 4
Integração das duas partes e interpretação da primitiva. Integramos ambos os lados:
A integral da esquerda é a função logarítmica natural porque
. A integral da direita é uma constante multiplicada por
. Portanto
onde
é a constante de integração. Observação importante: aparece
por regra da primitiva, mas como o enunciado afirma que o barco se move no sentido positivo (e assumimos
), podemos, a partir daqui, tirar o valor absoluto e escrever
(já que
durante o movimento que estamos descrevendo).
Passo 5
Isolando
e exponenciando. Aplicamos exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Denotamos
por uma nova constante positiva
, então
Aqui
porque
. A forma exponencial já mostra que a velocidade decai exponencialmente com tempo.
Passo 6
Aplicando a condição inicial para determinar a constante e interpretar o resultado. Usamos
:
Portanto
e a solução particular com a condição inicial é
Interpretação física: a velocidade decai exponencialmente até se aproximar de zero quando
. Se
aumenta (mais atrito), a queda é mais rápida; se
aumenta (mais inércia), a queda é mais lenta. Limite:
Verificação rápida de unidades:
deve ter unidade de
tempo para o expoente ser adimensional, o que bate com a interpretação de taxa de decaimento.
Passo 7
Um exemplo numérico (pra fixar e te dar confiança). Suponha
(kg),
(N·s/m) e
(m/s). Então
Em
segundos,
m/s. Isso mostra como aplicar a fórmula sem mistério.