O módulo da aceleração do carro ao fazer a curva é v^{2} / R, na qual v é a velocidade do carro e R é o raio da curva. Como a curva não é compensada, apenas o atrito com a estrada torna possível essa aceleração. Aplicando a Segunda Lei de Newton à força de atrito, temos: f=m v^{2} / R. Se F_{N} é a força normal e m é a massa do carro, o equilíbrio de forças na direção vertical nos dá F_{N}=m g. De acordo com a Eq. 6-1, o valor máximo do atrito estático é
f_{s, \max }=\mu_{s} F_{N}=\mu_{s} m g .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede implicitamente que encontremos a velocidade máxima que o carro pode ter na curva sem escorregar. Dados fornecidos:
  • A aceleração necessária para manter o carro em movimento circular tem módulo a_c=\dfrac{v^{2}}{R}.
  • Apenas a força de atrito com a estrada fornece essa aceleração centrípeta, portanto a força de atrito necessária é f=\dfrac{m v^{2}}{R}.
  • O equilíbrio vertical fornece a força normal F_{N}=m g.
  • O valor máximo do atrito estático é \displaystyle f_{s,\max}=\mu_{s}F_{N}=\mu_{s} m g.
    O que se quer: achar a velocidade máxima v_{\max} antes do carro começar a derrapar.

Passo 2

Vamos entender fisicamente o que cada equação significa, sem ainda resolver nada.
  • A expressão \dfrac{v^{2}}{R} é a aceleração centrípeta. Isso vem da geometria do movimento circular: quanto maior v ou menor R, maior a tendência a “sair” da curva.
  • A força de atrito estática é a única força horizontal que pode fornecer essa aceleração para o carro. Pelo segundo lei de Newton na direção radial (horizontal), a soma das forças horizontais deve ser igual a m a_c. Por isso escrevemos f=m\cdot a_c e, substituindo a_c, obtemos f=\dfrac{m v^{2}}{R}.
  • A força normal \,F_{N}\, equilibra o peso vertical mg porque o carro não sai do chão verticalmente; por isso F_{N}=m g.
  • O atrito estático tem uma máxima magnitude antes de o pneu começar a deslizar. Essa máxima magnitude é \,f_{s,\max}=\mu_{s}F_{N}=\mu_{s} m g, onde \mu_{s} é o coeficiente de atrito estático (sem unidade).

Passo 3

Entendimento do caso limite (condição de escorregamento):
  • O carro começa a derrapar quando a força de atrito necessária para fornecer a aceleração centrípeta excede a força de atrito estático máxima disponível.
  • No instante em que começa a derrapar, a força de atrito necessária é exatamente igual ao máximo: \dfrac{m v^{2}}{R}=f_{s,\max}.
    Essa é a equação de condição crítica que vamos usar para encontrar v_{\max}.

Passo 4

Substituímos na equação crítica o valor de f_{s,\max} dado pelo atrito:
\frac{m v^{2}}{R}=\mu_{s} m g
Expliquei cada termo: o lado esquerdo é a força centrípeta necessária; o lado direito é a força máxima que o atrito estático consegue fornecer.

Passo 5

Simplificamos a equação cancelando m dos dois lados. Isso é possível porque m (a massa do carro) aparece multiplicando ambos os lados e não é zero. Essa simplificação também mostra uma conclusão útil: a velocidade máxima não depende da massa do carro.
A equação fica:
\frac{v^{2}}{R}=\mu_{s} g

Passo 6

Isolamos v^{2} multiplicando ambos os lados por R:
v^{2}=\mu_{s} g R
Agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados. Como velocidade é magnitude (positiva) usamos a raiz positiva:
v_{\max}=\sqrt{\mu_{s} g R}

Passo 7

Interpretação e comentários práticos:
  • v_{\max} aumenta se \mu_{s} aumentar (piso mais aderente), se R aumentar (curva mais aberta) ou se g aumentar (em planetas com gravidade maior).
  • A massa m não aparece em v_{\max}: dois carros, com massas diferentes, têm a mesma velocidade máxima na mesma curva (mesmo \mu_s, R e g).
  • Pressupostos feitos: estrada plana (não compensada), atrito estático é o que age (não deslizamento até o limite), ausência de forças horizontais adicionais (vento lateral, inclinação), rolamento sem derrapagem até o limite.

Passo 8

Exemplo numérico curto (para ter uma noção):
  • Se \mu_{s}=0{,}8, R=50\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, então
v_{\max}=\sqrt{0{,}8\cdot 9{,}8\cdot 50}=\sqrt{392}\approx 19{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para km/h: 19{,}8\cdot 3{,}6\approx 71{,}3\\ \mathrm{km/h}.
Isso mostra como aplicar a fórmula rapidamente na prova.

Passo 9

Dica rápida para a prova (memorização e procedimento):
  • Lembre a condição: força centrípeta requerida = força de atrito máxima.
  • Escreva \dfrac{m v^{2}}{R}=\mu_{s} m g, cancele m, isole v e tire raiz.
  • Resultado compacto para decorar: \displaystyle v_{\max}=\sqrt{\mu_{s} g R}.
    Força na prova é repetir esse passo simples com calma — você consegue!

Resposta

v_{\max}=\sqrt{\mu_{s} g R}

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