Um disco plano de raio
está carregado com uma densidade superficial unitorme de cargas positivas. Calcule (i) o potencial em um ponto que passa pelo centro do disco e (ii) a partir do potencial, calcule o campo elétrico nesse ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular duas coisas sobre um disco plano carregado com carga positiva de densidade superficial uniforme:
- O potencial elétrico em um ponto que passa pelo centro do disco.
- O campo elétrico nesse mesmo ponto, a partir do potencial que calculamos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o potencial elétrico devido a distribuições de carga contínua e a relação entre potencial e campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga contínua. O potencial $ V $ em um ponto devido a uma carga $ dq $ é dado por:
onde:
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ dq $ é um elemento de carga,
- $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
No nosso caso, o disco tem uma densidade superficial de carga $ \sigma $ (carga por unidade de área). Podemos considerar um anel infinitesimal no disco com raio $ \rho $ e espessura $ d\rho $. A carga desse anel é:
Passo 4
Queremos calcular o potencial no centro do disco. A distância $ r $ de qualquer ponto no disco ao centro é apenas a altura, que neste caso é zero, mas precisamos considerar o potencial devido a cada elemento de carga. Na verdade, a distância efetiva $ r $ para o potencial no centro será sempre $ \rho $, já que na integração consideramos a contribuição de todos os elementos.
Então, o potencial total no centro será a soma (integral) das contribuições de todos os anéis do disco, de $ \rho = 0 $ até $ \rho = R $:
Passo 5
Agora que temos o potencial no centro do disco, podemos calcular o campo elétrico nesse ponto. A relação entre o campo elétrico $ \vec{E} $ e o potencial $ V $ é dada por:
No caso de simetria radial e no ponto central, o campo elétrico será nulo porque o potencial é o mesmo vindo de todas as direções igualmente.
Resposta
(i) O potencial no centro do disco é $ V = \dfrac{\sigma R}{2,\varepsilon_0} $.
(ii) O campo elétrico nesse ponto é $ \vec{E} = 0 $.