As placas de um capacitor plano de capacitância C, preenchido com um dielétrico de constante k, estão ligados aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma ddp
. 0 dielétrico tem uma condutividade
, o que produz uma corrente de perda. (b) Mostre que o resultado é válido para um capacitor cilíndrico ou esférico. Resposta: (a)
; (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor plano com capacitância $ C $, preenchido com um dielétrico que tem constante $ k $. As placas desse capacitor estão ligadas a uma bateria que mantém uma diferença de potencial (ddp) $ V $ entre elas. Além disso, o dielétrico tem uma condutividade elétrica $ \sigma $, o que causa uma corrente de perda. A parte (b) da questão quer que a gente mostre que o resultado obtido é válido também para capacitores cilíndricos ou esféricos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de capacitância, dielétricos e como a geometria do capacitor influencia a capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da capacitância para um capacitor plano sem dielétrico. A capacitância $ C_0 $ é dada por:
onde:
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ A $ é a área das placas,
- $ d $ é a distância entre as placas.
Quando adicionamos um dielétrico com constante dielétrica $ k $, a capacitância aumenta para:
Passo 3
Agora, vamos considerar a corrente de perda no dielétrico devido à sua condutividade $ \sigma $. A resistência $ R $ associada a essa perda de corrente pode ser relacionada à capacitância e à condutividade. A fórmula geral que relaciona esses termos é:
Mas como queremos mostrar que isso também vale para capacitores cilíndricos ou esféricos, precisamos analisar a capacitância dessas geometrias.
Passo 4
Para um capacitor cilíndrico, a capacitância $ C_{cil} $ é dada por:
onde:
- $ L $ é o comprimento do cilindro,
- $ a $ e $ b $ são os raios interno e externo.
Para um capacitor esférico, a capacitância $ C_{esf} $ é:
onde $ R_1 $ e $ R_2 $ são os raios interno e externo das esferas.
Passo 5
Independentemente da geometria, a capacitância $ C $ pode ser expressa de forma geral envolvendo a constante dielétrica $ k $ e a permissividade do vácuo $ \epsilon_0 $. Portanto, a relação:
se mantém válida tanto para capacitores planos, cilíndricos quanto esféricos, pois a estrutura da fórmula depende apenas dessas constantes e da capacitância, que já contempla a geometria específica.
Resposta
A resistência de perda para capacitores cilíndricos ou esféricos também é dada por: