As placas de um capacitor plano de capacitância C, preenchido com um dielétrico de constante k, estão ligados aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma ddp V. 0 dielétrico tem uma condutividade sigma, o que produz uma corrente de perda. (b) Mostre que o resultado é válido para um capacitor cilíndrico ou esférico. Resposta: (a) R=epsilon / C sigma; (b) R=k epsilon0 / C sigma.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor plano com capacitância $ C $, preenchido com um dielétrico que tem constante $ k $. As placas desse capacitor estão ligadas a uma bateria que mantém uma diferença de potencial (ddp) $ V $ entre elas. Além disso, o dielétrico tem uma condutividade elétrica $ \sigma $, o que causa uma corrente de perda. A parte (b) da questão quer que a gente mostre que o resultado obtido é válido também para capacitores cilíndricos ou esféricos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de capacitância, dielétricos e como a geometria do capacitor influencia a capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da capacitância para um capacitor plano sem dielétrico. A capacitância $ C_0 $ é dada por:
C0
onde:
  • $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ A $ é a área das placas,
  • $ d $ é a distância entre as placas.
Quando adicionamos um dielétrico com constante dielétrica $ k $, a capacitância aumenta para:
C0 = epsilon0 Ad

Passo 3

Agora, vamos considerar a corrente de perda no dielétrico devido à sua condutividade $ \sigma $. A resistência $ R $ associada a essa perda de corrente pode ser relacionada à capacitância e à condutividade. A fórmula geral que relaciona esses termos é:
sigma
Mas como queremos mostrar que isso também vale para capacitores cilíndricos ou esféricos, precisamos analisar a capacitância dessas geometrias.

Passo 4

Para um capacitor cilíndrico, a capacitância $ C_{cil} $ é dada por:
Ccil
onde:
  • $ L $ é o comprimento do cilindro,
  • $ a $ e $ b $ são os raios interno e externo.
Para um capacitor esférico, a capacitância $ C_{esf} $ é:
Ccil = 2 pi k epsilon0 Lln(b/a)
onde $ R_1 $ e $ R_2 $ são os raios interno e externo das esferas.

Passo 5

Independentemente da geometria, a capacitância $ C $ pode ser expressa de forma geral envolvendo a constante dielétrica $ k $ e a permissividade do vácuo $ \epsilon_0 $. Portanto, a relação:
C
se mantém válida tanto para capacitores planos, cilíndricos quanto esféricos, pois a estrutura da fórmula depende apenas dessas constantes e da capacitância, que já contempla a geometria específica.

Resposta

A resistência de perda para capacitores cilíndricos ou esféricos também é dada por:
R = k epsilon0C sigma

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