Use a lei de Gauss para calcular o campo elétrico de uma esfera isolante de carga
e raio
com distribuiçăo de densidade uniforme de carga
em seu interior.(Obs.: Calcule o campo da origem até o infinito e faça o esboço do gráfico).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico de uma esfera isolante com carga total $ Q $, raio $ a $ e densidade de carga uniforme $ \rho
r = 0
r \to \infty $). Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la em simetrias esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \epsilon_0 $:
Como a distribuição de carga é uniforme e a geometria é esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio $ r $.
Passo 3
Vamos considerar dois casos: quando $ r \leq a $ (dentro da esfera) e quando $ r > a $ (fora da esfera).
Caso 1: $ r \leq a $
Aqui, apenas parte da carga total $ Q $ está dentro da superfície gaussiana. A carga interna $ Q_{interno} $ é proporcional ao volume da esfera de raio $ r $:
Aqui, apenas parte da carga total $ Q $ está dentro da superfície gaussiana. A carga interna $ Q_{interno} $ é proporcional ao volume da esfera de raio $ r $:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando, encontramos o campo elétrico dentro da esfera:
Passo 4
Caso 2: $ r > a $
Neste caso, toda a carga $ Q $ está dentro da superfície gaussiana. Usando a Lei de Gauss:
Neste caso, toda a carga $ Q $ está dentro da superfície gaussiana. Usando a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
Esse é o campo elétrico fora da esfera, que se comporta como o de uma carga pontual.
Passo 5
Agora, vamos resumir as duas expressões do campo elétrico:
E para o gráfico, o campo elétrico aumenta linearmente com $ r $ dentro da esfera e decresce proporcionalmente a $ \frac{1}{r^2} $ fora dela.
Resposta
O campo elétrico da esfera isolante é dado por