Use a lei de Gauss para calcular o campo elétrico de uma esfera isolante de carga Q e raio a com distribuiçăo de densidade uniforme de carga rho em seu interior.(Obs.: Calcule o campo da origem até o infinito e faça o esboço do gráfico).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico de uma esfera isolante com carga total $ Q $, raio $ a $ e densidade de carga uniforme $ \rho Q é r = 0 a é r \to \infty $). Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la em simetrias esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \epsilon_0 $:
epsilon0
Como a distribuição de carga é uniforme e a geometria é esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio $ r $.

Passo 3

Vamos considerar dois casos: quando $ r \leq a $ (dentro da esfera) e quando $ r > a $ (fora da esfera).
Caso 1: $ r \leq a $
Aqui, apenas parte da carga total $ Q $ está dentro da superfície gaussiana. A carga interna $ Q_{interno} $ é proporcional ao volume da esfera de raio $ r $:
r <= a
Aplicando a Lei de Gauss:
r > a
Simplificando, encontramos o campo elétrico dentro da esfera:
r <= a

Passo 4

Caso 2: $ r > a $
Neste caso, toda a carga $ Q $ está dentro da superfície gaussiana. Usando a Lei de Gauss:
r > a
Isolando $ E $:
Q
Esse é o campo elétrico fora da esfera, que se comporta como o de uma carga pontual.

Passo 5

Agora, vamos resumir as duas expressões do campo elétrico:
E(r) = rho r3epsilon0 & para r <= a Q4pi epsilon0 r^2 & para r > a
E para o gráfico, o campo elétrico aumenta linearmente com $ r $ dentro da esfera e decresce proporcionalmente a $ \frac{1}{r^2} $ fora dela.

Resposta

O campo elétrico da esfera isolante é dado por
E(r) = rho r3epsilon0 & se r <= a Q4pi epsilon0 r^2 & se r > a

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